Математический анализ Примеры

$e^{x} - x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $e^{x} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 1$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $e^{x} - 1$ .

$e^{x} - 1$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $e^{x} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} = 1$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Этап 2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Этап 2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Этап 2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (1)$

Этап 2.5

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x = 0$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $e^{x} - x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$e^{0} - (0)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - (0)$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $0$ из $1$ .

$1$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(0, 1)$

Этап 5