Математический анализ Примеры

$x^{2} y = 120$

Этап 1

Разделим каждый член $x^{2} y = 120$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} y = 120$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{120}{x^{2}}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{120}{x^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{120}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{120}{x^{2}}$ по $x$ равна $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$120 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$120 (- 2 x^{- 3})$

Этап 2.1.4

Умножим $- 2$ на $120$ .

$- 240 x^{- 3}$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 240 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Объединим $- 240$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 240}{x^{3}}$

Этап 2.1.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{240}{x^{3}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{240}{x^{3}}$ .

$- \frac{240}{x^{3}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{240}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{240}{x^{3}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$240 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $240 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{240}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5

Вычислим $\frac{120}{x^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{120}{{(0)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{120}{0}$

Этап 5.1.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 6

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены