Математический анализ Примеры

$x e^{- 2 x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- 2 x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{2}}] + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x^{2}$ .

$x (e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x (e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 1} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.2

Перенесем $- 4$ влево от $e^{- 2 x^{2}}$ .

$x^{2} (- 4 \cdot e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.9

Умножим $e^{- 2 x^{2}}$ на $1$ .

$x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}}$

Этап 1.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Изменим порядок членов.

$- 4 e^{- 2 x^{2}} x^{2} + e^{- 2 x^{2}}$

Этап 1.1.10.2

Изменим порядок множителей в $- 4 e^{- 2 x^{2}} x^{2} + e^{- 2 x^{2}}$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$ .

$- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x^{2}}$ из $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x^{2}}$ из $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}}$ .

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2}) + e^{- 2 x^{2}} = 0$

Этап 2.2.1.2

Умножим на $1$ .

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $e^{- 2 x^{2}}$ из $e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2} + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$e^{- 2 x^{2}} (- {(2 x)}^{2} + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.4

Изменим порядок $- {(2 x)}^{2}$ и $1^{2}$ .

$e^{- 2 x^{2}} (1^{2} - {(2 x)}^{2}) = 0$

Этап 2.2.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = 2 x$ .

$e^{- 2 x^{2}} ((1 + 2 x) (1 - (2 x))) = 0$

Этап 2.2.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x^{2}} ((1 + 2 x) (1 - 2 x)) = 0$

Этап 2.2.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$e^{- 2 x^{2}} (1 + 2 x) (1 - 2 x) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

$1 + 2 x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{- 2 x^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{- 2 x^{2}}$ к $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{- 2 x^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 2 x^{2}}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{- 2 x^{2}} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $1 + 2 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $1 + 2 x$ к $0$ .

$1 + 2 x = 0$

Этап 2.5.2

Решим $1 + 2 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Приравняем $1 - 2 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $1 - 2 x$ к $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Этап 2.6.2

Решим $1 - 2 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- 2 x^{2}} (1 + 2 x) (1 - 2 x) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x e^{- 2 x^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $x$ .

$(- \frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})}$

Этап 4.1.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Этап 4.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 4.1.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 4.1.2.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Этап 4.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{4}}$

Этап 4.1.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.1.2.3.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.1.2.3.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.1.2.4

Перепишем $- 1 (\frac{1}{2})$ в виде $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Этап 4.1.2.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.2.6

Умножим $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 4.1.2.7

Перенесем $2$ влево от $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $x$ .

$(\frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 4.2.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{4}}$

Этап 4.2.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем $- 1 (\frac{1}{2})$ в виде $- (\frac{1}{2})$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Этап 4.2.2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2.5

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 5