Математический анализ Примеры

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 120 x + 6$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 3 x^{2} - 120 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 120$ является константой относительно $x$ , производная $- 120 x$ по $x$ равна $- 120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 120$ на $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 120 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 120 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $6 x^{2} + 6 x - 120$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 120$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} + 6 x - 120$ .

$6 x^{2} + 6 x - 120$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} + 6 x - 120 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 120 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} + 6 x - 120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 120 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 120 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 120$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 20 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 20 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 20$ .

$6 (x^{2} + x - 20) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $1$ .

$- 4, 5$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (x - 4) (x + 5) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (x - 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 4, - 5$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 x^{3} + 3 x^{2} - 120 x + 6$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$2 {(4)}^{3} + 3 {(4)}^{2} - 120 \cdot 4 + 6$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$2 \cdot 64 + 3 {(4)}^{2} - 120 \cdot 4 + 6$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $64$ .

$128 + 3 {(4)}^{2} - 120 \cdot 4 + 6$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$128 + 3 \cdot 16 - 120 \cdot 4 + 6$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $3$ на $16$ .

$128 + 48 - 120 \cdot 4 + 6$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 120$ на $4$ .

$128 + 48 - 480 + 6$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $128$ и $48$ .

$176 - 480 + 6$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $480$ из $176$ .

$- 304 + 6$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $- 304$ и $6$ .

$- 298$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 5$ вместо $x$ .

$2 {(- 5)}^{3} + 3 {(- 5)}^{2} - 120 \cdot - 5 + 6$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 125 + 3 {(- 5)}^{2} - 120 \cdot - 5 + 6$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 125$ .

$- 250 + 3 {(- 5)}^{2} - 120 \cdot - 5 + 6$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$- 250 + 3 \cdot 25 - 120 \cdot - 5 + 6$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $3$ на $25$ .

$- 250 + 75 - 120 \cdot - 5 + 6$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $- 120$ на $- 5$ .

$- 250 + 75 + 600 + 6$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $- 250$ и $75$ .

$- 175 + 600 + 6$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 175$ и $600$ .

$425 + 6$

Этап 4.2.2.2.3

Добавим $425$ и $6$ .

$431$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(4, - 298), (- 5, 431)$

Этап 5