Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{n} \cos (x) d x$

Этап 1

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} u^{n} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{n}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}$ .

$\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}]_{0}^{1}$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{n + 1}$ и $u^{n + 1}$ .

$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$