Математический анализ Примеры

$2 \cos (t) + \sin (2 t)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (t) + \sin (2 t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (2 \cos (t)) + \frac{d}{d t} (\sin (2 t))$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 \cos (t)$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$f' (t) = 2 \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (\sin (2 t))$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$f' (t) = 2 (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (\sin (2 t))$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (t) = - 2 \sin (t) + \frac{d}{d t} (\sin (2 t))$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t$ .

$f' (t) = - 2 \sin (t) + \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d t} (2 t)$

Этап 1.1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f' (t) = - 2 \sin (t) + \cos (u) \frac{d}{d t} (2 t)$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$f' (t) = - 2 \sin (t) + \cos (2 t) \frac{d}{d t} (2 t)$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} (t))$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (t) = - 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (t) = - 2 \sin (t) + \cos (2 t) \cdot 2$

Этап 1.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 t)$ .

$f' (t) = - 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$

Этап 1.2

Первая производная $f (t)$ по $t$ равна $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t) = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \sin (t) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \sin (t) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 2.2.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Этап 2.3

Разложим $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 2.3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \sin (t)) + 2 (1)$ .

$2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 2.3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t))$ .

$2 (- \sin (t) + 1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Изменим порядок членов.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (t)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + (1 - 2) \sin (t) + 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + 1 \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.2.4

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (\sin (t) (- 2 \sin (t) + 1) + 1 (- 2 \sin (t) + 1)) = 0$

Этап 2.3.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 \sin (t) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1)) = 0$

Этап 2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

$\sin (t) + 1 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $- 2 \sin (t) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- 2 \sin (t) + 1$ к $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- 2 \sin (t) + 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (t) = - 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (t) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (t) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (t)$ на $1$ .

$\sin (t) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 2.5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Этап 2.5.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$t = π - \frac{π}{6}$

Этап 2.5.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.5.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.5.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.5.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 2.5.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Этап 2.5.2.7

Найдем период $\sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.8

Период функции $\sin (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Приравняем $\sin (t) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $\sin (t) + 1$ к $0$ .

$\sin (t) + 1 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $\sin (t) + 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (t) = - 1$

Этап 2.6.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$t = \arcsin (- 1)$

Этап 2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}$

Этап 2.6.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 2.6.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 2.6.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$t = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.6.2.6

Найдем период $\sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.6.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 2.6.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.6.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.6.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.6.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.6.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 2.6.2.7.5

Перечислим новые углы.

$t = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.6.2.8

Период функции $\sin (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$ верно.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8

Объединим ответы.

$t = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 \cos (t) + \sin (2 t)$ для каждого значения $t$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $t = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{6}$ вместо $t$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\sqrt{3} + \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Этап 4.1.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} + \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 4.1.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $\sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.4.2

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2

Найдем значение в $t = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{5 π}{6}$ вместо $t$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 4.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 4.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 4.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \sqrt{3} + \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Этап 4.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{3} + \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Этап 4.2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Этап 4.2.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.2

Чтобы записать $- \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Объединим $- \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.4.2

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3

Найдем значение в $t = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{3 π}{2}$ вместо $t$ .

$2 \cos (\frac{3 π}{2}) + \sin (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$2 \cos (\frac{π}{2}) + \sin (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.3.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$2 \cdot 0 + \sin (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + \sin (2 (\frac{3 π}{2}))$

Этап 4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$0 + \sin (2 \frac{3 π}{2})$

Этап 4.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$0 + \sin (3 π)$

Этап 4.3.2.1.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$0 + \sin (π)$

Этап 4.3.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$0 + \sin (0)$

Этап 4.3.2.1.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.3.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{6} + 2 π n, \frac{3 \sqrt{3}}{2}), (\frac{5 π}{6} + 2 π n, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 0)$ , для любого целого $n$

Этап 5