Математический анализ Примеры

$- 2 \sin (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cos (2 x) \cdot 1$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 \cos (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 \cos (2 x) = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 4 \cos (2 x) = 0$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 4 \cos (2 x) = 0$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 4$ .

$\cos (2 x) = 0$

Этап 2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (0)$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 2.5

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.5.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.7.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.7.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.7.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.7.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.7.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.8

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.9

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $- 2 \sin (2 x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 4.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 4.1.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{3 π}{4}$ вместо $x$ .

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Этап 4.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.2.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 4.2.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.2.4

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Этап 4.2.2.4.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{4} + π n, - 2), (\frac{3 π}{4} + π n, 2)$ , для любого целого $n$

Этап 5