Математический анализ Примеры

$3 a x^{2} + 2 b x + c$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 a x^{2} + 2 b x + c$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [3 a x^{2}] + \frac{d}{d a} [2 b x] + \frac{d}{d a} [c]$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x^{2}] + \frac{d}{d a} [2 b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d a} [3 a x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3 x^{2}$ является константой относительно $a$ , производная $3 a x^{2}$ по $a$ равна $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [2 b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [2 b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d a} [2 b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2 b x$ является константой относительно $a$ , производная $2 b x$ относительно $a$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $c$ является константой относительно $a$ , производная $c$ относительно $a$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Этап 1.1.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$f' (a) = 3 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (a)$ по $a$ равна $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3

Вычислим $3 a x^{2} + 2 b x + c$ для каждого значения $a$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $a = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $0$ вместо $a$ .

$3 (0) \cdot x^{2} + 2 b x + c$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$0 \cdot x^{2} + 2 b x + c$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$0 + 2 b x + c$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $2 b x$ .

$2 b x + c$

Этап 3.2

Перечислим все точки.

$(0, 2 b x + c)$

Этап 4