Математический анализ Примеры

$3 x^{2} - 4 x - 4$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 4 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$6 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x - 4 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $6 x - 4$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x - 4$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x - 4$ .

$6 x - 4$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x - 4 = 0$

Этап 2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 4$

Этап 2.3

Разделим каждый член $6 x = 4$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $6 x = 4$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{4}{6}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{4}{6}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{6}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{6}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x^{2} - 4 x - 4$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{2}{3}$ вместо $x$ .

$3 {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$3 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 \frac{4}{3^{2}} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$3 (\frac{4}{9}) - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 \frac{4}{3 (3)} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{4}{3 \cdot 3} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Этап 4.1.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 4 (\frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} - 4$

Этап 4.1.2.1.5.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 8}{3} - 4$

Этап 4.1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 4$

Этап 4.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 + \frac{4 - 8}{3}$

Этап 4.1.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$- 4 + \frac{- 4}{3}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 - \frac{4}{3}$

Этап 4.1.2.3

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 4.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Этап 4.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Этап 4.1.2.6.2

Вычтем $4$ из $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Этап 4.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{3}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(\frac{2}{3}, - \frac{16}{3})$

Этап 5