Математический анализ Примеры

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 72 x + 8$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 36 x^{2} + 72 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x^{2}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $36$ .

$12 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $72$ является константой относительно $x$ , производная $72 x$ по $x$ равна $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 72 x + 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} + 72 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $72$ на $1$ .

$12 x^{2} + 72 x + 72 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{2} + 72 x + 72 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $12 x^{2} + 72 x + 72$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 72 x + 72$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} + 72 x + 72$ .

$12 x^{2} + 72 x + 72$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} + 72 x + 72 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} + 72 x + 72 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} + 72 x + 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 72 x + 72 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12$ из $72 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (6 x) + 72 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12$ из $72$ .

$12 x^{2} + 12 (6 x) + 12 \cdot 6 = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} + 12 (6 x)$ .

$12 (x^{2} + 6 x) + 12 \cdot 6 = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{2} + 6 x) + 12 \cdot 6$ .

$12 (x^{2} + 6 x + 6) = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $12 (x^{2} + 6 x + 6) = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $12 (x^{2} + 6 x + 6) = 0$ на $12$ .

$\frac{12 (x^{2} + 6 x + 6)}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (x^{2} + 6 x + 6)}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2} + 6 x + 6$ на $1$ .

$x^{2} + 6 x + 6 = \frac{0}{12}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$x^{2} + 6 x + 6 = 0$

Этап 2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{3}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{3}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 3 + \sqrt{3}$

Этап 2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.8.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{3}$

Этап 2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 3 - \sqrt{3}$

Этап 2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 3 + \sqrt{3}, - 3 - \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $4 x^{3} + 36 x^{2} + 72 x + 8$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 3 + \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 3 + \sqrt{3}$ вместо $x$ .

$4 {(- 3 + \sqrt{3})}^{3} + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$4 ({(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$4 (- 27 + 3 {(- 3)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$4 (- 27 + 3 \cdot 9 \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.3

Умножим $3$ на $9$ .

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.4

Умножим $3$ на $- 3$ .

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{1} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.5.5

Найдем экспоненту.

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.6

Умножим $- 9$ на $3$ .

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{3^{3}}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{27}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.9

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.9.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{9 (3)}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.9.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.2.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.3

Вычтем $27$ из $- 27$ .

$4 (- 54 + 27 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.4

Добавим $27 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$4 (- 54 + 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot - 54 + 4 (30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $4$ на $- 54$ .

$- 216 + 4 (30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.7

Умножим $30$ на $4$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.8

Перепишем ${(- 3 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(- 3 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 ((- 3 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.9

Развернем $(- 3 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 (- 3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.10.1.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.10.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.10.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.10.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.10.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.10.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.10.2

Добавим $9$ и $3$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.10.3

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $- 3 \sqrt{3}$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (12 - 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 \cdot 12 + 36 (- 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.12

Умножим $36$ на $12$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 + 36 (- 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.13

Умножим $- 6$ на $36$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 - 216 \sqrt{3} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.1.2.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 - 216 \sqrt{3} + 72 \cdot - 3 + 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.1.2.1.15

Умножим $72$ на $- 3$ .

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 - 216 \sqrt{3} - 216 + 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $- 216$ и $432$ .

$216 + 120 \sqrt{3} - 216 \sqrt{3} - 216 + 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.1.2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Вычтем $216$ из $216$ .

$0 + 120 \sqrt{3} - 216 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.1.2.2.2.2

Добавим $0$ и $120 \sqrt{3}$ .

$120 \sqrt{3} - 216 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.1.2.2.3

Вычтем $216 \sqrt{3}$ из $120 \sqrt{3}$ .

$- 96 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.1.2.2.4

Добавим $- 96 \sqrt{3}$ и $72 \sqrt{3}$ .

$- 24 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 3 - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 3 - \sqrt{3}$ вместо $x$ .

$4 {(- 3 - \sqrt{3})}^{3} + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$4 ({(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$4 (- 27 + 3 {(- 3)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$4 (- 27 + 3 \cdot 9 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.3

Умножим $3$ на $9$ .

$4 (- 27 + 27 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.4

Умножим $- 1$ на $27$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.5

Умножим $3$ на $- 3$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.8

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.9

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.9.4.1

Сократим общий множитель.

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.9.4.2

Перепишем это выражение.

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{1} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.9.5

Найдем экспоненту.

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.10

Умножим $- 9$ на $3$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.13

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{3^{3}}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.14

Возведем $3$ в степень $3$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{27}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.15

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.15.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{9 (3)}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.15.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - (3 \sqrt{3})) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.2.17

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.3

Вычтем $27$ из $- 27$ .

$4 (- 54 - 27 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.4

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $- 27 \sqrt{3}$ .

$4 (- 54 - 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot - 54 + 4 (- 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $4$ на $- 54$ .

$- 216 + 4 (- 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.7

Умножим $- 30$ на $4$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.8

Перепишем ${(- 3 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(- 3 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 ((- 3 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.9

Развернем $(- 3 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 (- 3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.10.1.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.10.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.10.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.10.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{1}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.1.5.5

Найдем экспоненту.

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.2

Добавим $9$ и $3$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.10.3

Добавим $3 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (12 + 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 \cdot 12 + 36 (6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.12

Умножим $36$ на $12$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 36 (6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.13

Умножим $6$ на $36$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} + 72 \cdot - 3 + 72 (- \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.15

Умножим $72$ на $- 3$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} - 216 + 72 (- \sqrt{3}) + 8$

Этап 4.2.2.1.16

Умножим $- 1$ на $72$ .

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} - 216 - 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $- 216$ и $432$ .

$216 - 120 \sqrt{3} + 216 \sqrt{3} - 216 - 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.2.2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Вычтем $216$ из $216$ .

$0 - 120 \sqrt{3} + 216 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.2.2.2.2.2

Вычтем $120 \sqrt{3}$ из $0$ .

$- 120 \sqrt{3} + 216 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.2.2.2.3

Добавим $- 120 \sqrt{3}$ и $216 \sqrt{3}$ .

$96 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.2.2.2.4

Вычтем $72 \sqrt{3}$ из $96 \sqrt{3}$ .

$24 \sqrt{3} + 8$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 3 + \sqrt{3}, - 24 \sqrt{3} + 8), (- 3 - \sqrt{3}, 24 \sqrt{3} + 8)$

Этап 5