Математический анализ Примеры

$6 \sin (x) + 6 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $6 \sin (x) + 6 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \sin (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \cos (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \cos (x) + 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 \cos (x) + 6 (- \sin (x))$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) - 6 \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 \cos (x) - 6 \sin (x)$ .

$6 \cos (x) - 6 \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 \cos (x) - 6 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 \cos (x) - 6 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{6 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.3.2

Разделим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4

Разделим дроби.

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.6

Разделим $- 6$ на $1$ .

$6 - 6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.7

Разделим дроби.

$6 - 6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$6 - 6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.9

Разделим $0$ на $1$ .

$6 - 6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 2.10

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$6 - 6 \tan (x) = 0$

Этап 2.11

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- 6 \tan (x) = - 6$

Этап 2.12

Разделим каждый член $- 6 \tan (x) = - 6$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Разделим каждый член $- 6 \tan (x) = - 6$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 \tan (x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Этап 2.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 \tan (x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Этап 2.12.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 6}{- 6}$

Этап 2.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Разделим $- 6$ на $- 6$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 2.13

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 2.14

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.15

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 2.16

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.16.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.16.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 2.16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 2.16.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 2.17

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.17.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.17.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.17.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.18

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $6 \sin (x) + 6 \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$6 \sin (\frac{π}{4}) + 6 \cos (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \sqrt{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \sqrt{2} + 6 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$3 \sqrt{2} + 2 (3) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$3 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}$

Этап 4.1.2.2

Добавим $3 \sqrt{2}$ и $3 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{5 π}{4}$ вместо $x$ .

$6 \sin (\frac{5 π}{4}) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$6 (- \sin (\frac{π}{4})) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$6 \frac{- \sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$3 (- \sqrt{2}) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sqrt{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- 3 \sqrt{2} + 6 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Этап 4.2.2.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 \sqrt{2} + 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4.2.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$- 3 \sqrt{2} + 6 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.2.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- 3 \sqrt{2} + 2 (3) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$- 3 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$- 3 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2})$

Этап 4.2.2.1.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $3 \sqrt{2}$ из $- 3 \sqrt{2}$ .

$- 6 \sqrt{2}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 6 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 6 \sqrt{2})$ , для любого целого $n$

Этап 5