Математический анализ Примеры

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{2} - 12 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $12 x^{2} - 12 x$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 12 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 12 x$ .

$12 x^{2} - 12 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 12 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 12 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $- 12 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 1) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $4 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$4 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 0 + 1$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2} + 1$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 6 {(1)}^{2} + 1$

Этап 4.2.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 - 6 \cdot 1 + 1$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$4 - 6 + 1$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $6$ из $4$ .

$- 2 + 1$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 1$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 1), (1, - 1)$

Этап 5