Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = - x - 6$ и $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 6] - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.2

По правилу суммы производная $- x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.7

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.9

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.11

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.12

Перенесем $- 1$ влево от ${(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.13

Перепишем $- 1 {(x - 6)}^{2}$ в виде $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.14

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) \cdot 1)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.15

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.16

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.17

Перемножим экспоненты в ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.17.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.17.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.18

Вынесем множитель $x - 6$ из $- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.18.1

Вынесем множитель $x - 6$ из $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.18.2

Вынесем множитель $x - 6$ из $- 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.18.3

Вынесем множитель $x - 6$ из $(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.1

Вынесем множитель $x - 6$ из ${(x - 6)}^{4}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.19.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.19.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Этап 1.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{- x + 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Этап 1.1.4.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Этап 1.1.4.3.3

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Этап 1.1.4.3.4

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$\frac{x + 6 + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Этап 1.1.4.3.5

Добавим $6$ и $12$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Этап 1.1.4.3.6

Добавим $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x + 18 = 0$

Этап 2.3

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$x = - 18$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 6)}^{3} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4

Вычислим $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 18$ вместо $x$ .

$\frac{- (- 18) - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$\frac{18 - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Этап 4.1.2.1.2

Вычтем $6$ из $18$ .

$\frac{12}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Этап 4.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.1

Вычтем $6$ из $- 18$ .

$\frac{12}{{(- 24)}^{2}} + 9$

Этап 4.1.2.2.1.2

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$\frac{12}{576} + 9$

Этап 4.1.2.2.2

Сократим общий множитель $12$ и $576$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{12 (1)}{576} + 9$

Этап 4.1.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $576$ .

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Этап 4.1.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Этап 4.1.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{48} + 9$

Этап 4.1.2.3

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + 9 \cdot \frac{48}{48}$

Этап 4.1.2.4

Объединим $9$ и $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + \frac{9 \cdot 48}{48}$

Этап 4.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 9 \cdot 48}{48}$

Этап 4.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $9$ на $48$ .

$\frac{1 + 432}{48}$

Этап 4.1.2.6.2

Добавим $1$ и $432$ .

$\frac{433}{48}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $6$ вместо $x$ .

$\frac{- (6) - 6}{{((6) - 6)}^{2}} + 9$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{- (6) - 6}{0^{2}} + 9$

Этап 4.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{- (6) - 6}{0} + 9$

Этап 4.2.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 18, \frac{433}{48})$

Этап 5