Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем числитель к нулю.

$x (x - 2) = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.2.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 1}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

Этап 3.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.2.3

Разделим $0$ на $- 1$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ в точке $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{(2) - 1}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{4}{2 - 1}$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = \frac{4}{1}$

Этап 4.2.3

Разделим $4$ на $1$ .

$f (2) = 4$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ ― $y = 0, y = 4$ .

$y = 0, y = 4$

Этап 6