Математический анализ Примеры

$y (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.3.3

Умножим ${(x - 9)}^{2}$ на $1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $x - 9$ из ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $x - 9$ из ${(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $x - 9$ из $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $x - 9$ из $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $x - 9$ из ${(x - 9)}^{4}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.6.3

Перепишем это выражение.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.7

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.9

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.10.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.10.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$6 \frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.10.4

Объединим $6$ и $\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (- x) + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{- 6 x + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11.2.2

Умножим $6$ на $- 9$ .

$\frac{- 6 x - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11.3

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x - 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.3.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x$ .

$\frac{6 (- x) - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11.3.2

Вынесем множитель $6$ из $- 54$ .

$\frac{6 (- x) + 6 (- 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11.3.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (- x) + 6 (- 9)$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{6 (- (x) - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11.5

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11.7

Перепишем $- (x + 9)$ в виде $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{6 (- 1 (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.11.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем числитель к нулю.

$6 (x + 9) = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $6 (x + 9) = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разделим каждый член $6 (x + 9) = 0$ на $6$ .

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 2.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 2.2.1.2.1.2

Разделим $x + 9$ на $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{6}$

Этап 2.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$x + 9 = 0$

Этап 2.2.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ в точке $x = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{6 (- 9)}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $6$ на $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 9 - 9)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $9$ из $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 18)}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{324}$

Этап 3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $- 54$ и $324$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $54$ из $- 54$ .

$f (- 9) = \frac{54 (- 1)}{324}$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $54$ из $324$ .

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Этап 3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 9) = \frac{- 1}{6}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 9) = - \frac{1}{6}$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Этап 4

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ : $y = - \frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Этап 5