Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{2} + 10 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- x^{2} + 10 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [10 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x + 10 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $10$ на $1$ .

$f' (x) = - 2 x + 10$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x + 10$ .

$- 2 x + 10$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x + 10 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x + 10 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 10$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 2 x = - 10$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 10$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 10}{- 2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 10}{- 2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 10$ на $- 2$ .

$x = 5$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $- x^{2} + 10 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$- {(5)}^{2} + 10 (5)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- 1 \cdot 25 + 10 (5)$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$- 25 + 10 (5)$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $10$ на $5$ .

$- 25 + 50$

Этап 4.1.2.2

Добавим $- 25$ и $50$ .

$25$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(5, 25)$

Этап 5