Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} (x^{2} - 4)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.4

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$f' (x) = 2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + (x^{2} - 4) (2 x)$

Этап 1.1.6

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 4) x)$

Этап 1.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)$

Этап 1.1.7.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)$

Этап 1.1.7.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x)$

Этап 1.1.7.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x)$

Этап 1.1.7.3.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} - 8 x$

Этап 1.1.7.3.5

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x^{2} - 2) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{2} (x^{2} - 4)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 ({(0)}^{2} - 4)$

Этап 4.1.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 (0 - 4)$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $4$ из $0$ .

$0 \cdot - 4$

Этап 4.1.2.4

Умножим $0$ на $- 4$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\sqrt{2}$ вместо $x$ .

${(\sqrt{2})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.2.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2^{1} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.2.2.1.5

Найдем экспоненту.

$2 ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.2.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

Этап 4.2.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

Этап 4.2.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Этап 4.2.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Этап 4.2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 (2^{1} - 4)$

Этап 4.2.2.2.5

Найдем экспоненту.

$2 (2 - 4)$

Этап 4.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вычтем $4$ из $2$ .

$2 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- \sqrt{2}$ вместо $x$ .

${(- \sqrt{2})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.1.2.2

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$2^{1} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$2 ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 (1 {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.2.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.2.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

Этап 4.3.2.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

Этап 4.3.2.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Этап 4.3.2.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Этап 4.3.2.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$2 (2^{1} - 4)$

Этап 4.3.2.2.4.5

Найдем экспоненту.

$2 (2 - 4)$

Этап 4.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Вычтем $4$ из $2$ .

$2 \cdot - 2$

Этап 4.3.2.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Этап 5