Математический анализ Примеры

$F (x) = x^{\frac{4}{5}} {(x - 2)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}} ((x - 2) (x - 2)))$

Этап 1.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}} (x (x - 2) - 2 (x - 2)))$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)))$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4))$

Этап 1.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 4 x + 4))$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ и $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}})$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4)) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}})$

Этап 1.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4)) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}})$

Этап 1.1.5.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}})$

Этап 1.1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}})$

Этап 1.1.5.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (4)) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}})$

Этап 1.1.5.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4 + 0) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}})$

Этап 1.1.5.7

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}})$

Этап 1.1.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{5}$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Этап 1.1.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 1.1.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Этап 1.1.9.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Этап 1.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Этап 1.1.11

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5})$

Этап 1.1.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 4 + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 4 + x^{2} (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}) - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1

Умножим $x^{\frac{4}{5}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 4 + x^{2} (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}) - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{4}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 4 + x^{2} (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}) - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{1 + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 4 + x^{2} (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}) - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (x) = x^{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 4 + x^{2} (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}) - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x^{\frac{5 + 4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 4 + x^{2} (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}) - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.1.5

Добавим $5$ и $4$ .

$f' (x) = x^{\frac{9}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 4 + x^{2} (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}) - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{9}{5}}$ .

$f' (x) = 2 \cdot x^{\frac{9}{5}} + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 4 + x^{2} (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}) - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.3

Перенесем $- 4$ влево от $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 \cdot x^{\frac{4}{5}} + x^{2} (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}) - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.5

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 \cdot x^{2}}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.6

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{2} x^{- \frac{1}{5}}}{5} - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.7

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.7.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{5}} x^{2})}{5} - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2}}{5} - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.7.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}{5} - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.7.4

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}{5} - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 5}{5}}}{5} - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.7.6.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 10}{5}}}{5} - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.7.6.2

Добавим $- 1$ и $10$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 4 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.8

Объединим $- 4$ и $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x (\frac{- 4 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.9

Умножим $- 4$ на $4$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x (\frac{- 16}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.10

Объединим $x$ и $\frac{- 16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{x \cdot - 16}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.11

Перенесем $- 16$ влево от $x$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 16 \cdot x}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.12

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 16 x \cdot x^{- \frac{1}{5}}}{5} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.13

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.13.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 16 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.13.2

Умножим $x^{- \frac{1}{5}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.13.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 16 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.13.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 16 x^{- \frac{1}{5} + 1}}{5} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.13.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 16 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}}}{5} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 16 x^{\frac{- 1 + 5}{5}}}{5} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.13.5

Добавим $- 1$ и $5$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{(16) x^{\frac{4}{5}}}{5} + 4 (\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 1.1.13.3.15

Объединим $4$ и $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{4 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.16

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (x) = 2 x^{\frac{9}{5}} - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.17

Чтобы записать $2 x^{\frac{9}{5}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = - 4 x^{\frac{4}{5}} + 2 x^{\frac{9}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.18

Объединим $2 x^{\frac{9}{5}}$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.20

Умножим $5$ на $2$ .

$f' (x) = - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.21

Добавим $10 x^{\frac{9}{5}}$ и $4 x^{\frac{9}{5}}$ .

$f' (x) = - 4 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.22

Чтобы записать $- 4 x^{\frac{4}{5}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = - 4 x^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.23

Объединим $- 4 x^{\frac{4}{5}}$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5 - 16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.25

Умножим $5$ на $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 20 x^{\frac{4}{5}} - 16 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.26

Вычтем $16 x^{\frac{4}{5}}$ из $- 20 x^{\frac{4}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{- 36 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.3.27

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.13.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 1.2

Первая производная $F (x)$ по $x$ равна $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$

Этап 2.2.2

Since $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 5, 5, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{5}}$ .

Этап 2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.2.4

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 2.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.2.6

НОК $5, 5, 5, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 2.2.7

НОК $x^{\frac{1}{5}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{1}{5}}$

Этап 2.2.8

НОК $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$ представляет собой произведение числовой части $5$ и переменной части.

$5 x^{\frac{1}{5}}$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ умножим на $5 x^{\frac{1}{5}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ на $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$14 x^{\frac{9}{5}} x^{\frac{1}{5}} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $x^{\frac{9}{5}}$ на $x^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{9}{5}}) + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$14 x^{\frac{1}{5} + \frac{9}{5}} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$14 x^{\frac{1 + 9}{5}} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.3.4

Добавим $1$ и $9$ .

$14 x^{\frac{10}{5}} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.3.5

Разделим $10$ на $5$ .

$14 x^{2} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$14 x^{2} + 5 \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$14 x^{2} + 5 \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$14 x^{2} + \frac{16}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.6

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$14 x^{2} + \frac{16}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$14 x^{2} + 16 - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ в числитель.

$14 x^{2} + 16 + \frac{- 36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.7.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 x^{2} + 16 + \frac{- 36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 (x^{\frac{1}{5}})) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$14 x^{2} + 16 + \frac{- 36 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$14 x^{2} + 16 - 36 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.8

Умножим $x^{\frac{4}{5}}$ на $x^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.8.1

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 x^{2} + 16 - 36 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$14 x^{2} + 16 - 36 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$14 x^{2} + 16 - 36 x^{\frac{1 + 4}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.8.4

Добавим $1$ и $4$ .

$14 x^{2} + 16 - 36 x^{\frac{5}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.8.5

Разделим $5$ на $5$ .

$14 x^{2} + 16 - 36 x^{1} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.2.1.9

Упростим $- 36 x^{1}$ .

$14 x^{2} + 16 - 36 x = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$14 x^{2} + 16 - 36 x = 0 x^{\frac{1}{5}}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 x^{2} + 16 - 36 x = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14 x^{2} + 16 - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14 x^{2}$ .

$2 (7 x^{2}) + 16 - 36 x = 0$

Этап 2.4.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 (7 x^{2}) + 2 (8) - 36 x = 0$

Этап 2.4.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 36 x$ .

$2 (7 x^{2}) + 2 (8) + 2 (- 18 x) = 0$

Этап 2.4.1.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (7 x^{2}) + 2 (8)$ .

$2 (7 x^{2} + 8) + 2 (- 18 x) = 0$

Этап 2.4.1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (7 x^{2} + 8) + 2 (- 18 x)$ .

$2 (7 x^{2} + 8 - 18 x) = 0$

Этап 2.4.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1.1

Изменим порядок членов.

$2 (7 x^{2} - 18 x + 8) = 0$

Этап 2.4.1.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot 8 = 56$ , а сумма — $b = - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 18$ из $- 18 x$ .

$2 (7 x^{2} - 18 x + 8) = 0$

Этап 2.4.1.2.1.2.2

Запишем $- 18$ как $- 4$ плюс $- 14$

$2 (7 x^{2} + (- 4 - 14) x + 8) = 0$

Этап 2.4.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (7 x^{2} - 4 x - 14 x + 8) = 0$

Этап 2.4.1.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((7 x^{2} - 4 x) - 14 x + 8) = 0$

Этап 2.4.1.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (x (7 x - 4) - 2 (7 x - 4)) = 0$

Этап 2.4.1.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 x - 4$ .

$2 ((7 x - 4) (x - 2)) = 0$

Этап 2.4.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (7 x - 4) (x - 2) = 0$

Этап 2.4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.3

Приравняем $7 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Приравняем $7 x - 4$ к $0$ .

$7 x - 4 = 0$

Этап 2.4.3.2

Решим $7 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$7 x = 4$

Этап 2.4.3.2.2

Разделим каждый член $7 x = 4$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = 4$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 2.4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 2.4.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{7}$

Этап 2.4.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (7 x - 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{4}{7}, 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{16}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 3.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{16}{5 \sqrt[5]{x^{1}}} - \frac{36 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 3.1.3

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{16}{5 \sqrt[5]{x^{1}}} - \frac{36 \sqrt[5]{x^{4}}}{5}$

Этап 3.1.4

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{16}{5 \sqrt[5]{x}} - \frac{36 \sqrt[5]{x^{4}}}{5}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{16}{5 \sqrt[5]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$3125 x = 0^{5}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3125 x = 0$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $3125 x = 0$ на $3125$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $3125 x = 0$ на $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $0$ на $3125$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $x^{\frac{4}{5}} {(x - 2)}^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{4}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{4}{7}$ вместо $x$ .

${(\frac{4}{7})}^{\frac{4}{5}} {((\frac{4}{7}) - 2)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {((\frac{4}{7}) - 2)}^{2}$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(\frac{4}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7})}^{2}$

Этап 4.1.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(\frac{4}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7})}^{2}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(\frac{4 - 2 \cdot 7}{7})}^{2}$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $- 2$ на $7$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(\frac{4 - 14}{7})}^{2}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $14$ из $4$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(\frac{- 10}{7})}^{2}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} {(- \frac{10}{7})}^{2}$

Этап 4.1.2.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{10}{7}$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} ({(- 1)}^{2} {(\frac{10}{7})}^{2})$

Этап 4.1.2.7.2

Применим правило умножения к $\frac{10}{7}$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} ({(- 1)}^{2} \frac{10^{2}}{7^{2}})$

Этап 4.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} (1 \frac{10^{2}}{7^{2}})$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $\frac{10^{2}}{7^{2}}$ на $1$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{10^{2}}{7^{2}}$

Этап 4.1.2.9

Объединим.

$\frac{4^{\frac{4}{5}} \cdot 10^{2}}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 7^{2}}$

Этап 4.1.2.10

Умножим $7^{\frac{4}{5}}$ на $7^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4^{\frac{4}{5}} \cdot 10^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2}}$

Этап 4.1.2.10.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}} \cdot 10^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}$

Этап 4.1.2.10.3

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}} \cdot 10^{2}}{7^{\frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}$

Этап 4.1.2.10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4^{\frac{4}{5}} \cdot 10^{2}}{7^{\frac{4 + 2 \cdot 5}{5}}}$

Этап 4.1.2.10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.5.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}} \cdot 10^{2}}{7^{\frac{4 + 10}{5}}}$

Этап 4.1.2.10.5.2

Добавим $4$ и $10$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}} \cdot 10^{2}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Этап 4.1.2.11

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\frac{4^{\frac{4}{5}} \cdot 100}{7^{\frac{14}{5}}}$

Этап 4.1.2.12

Перенесем $100$ влево от $4^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{100 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

${(2)}^{\frac{4}{5}} {((2) - 2)}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$2^{\frac{4}{5}} \cdot 0^{2}$

Этап 4.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2^{\frac{4}{5}} \cdot 0$

Этап 4.2.2.3

Умножим $2^{\frac{4}{5}}$ на $0$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{\frac{4}{5}} {((0) - 2)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{4}{5}} {((0) - 2)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{4}{5})} {((0) - 2)}^{2}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$0^{5 (\frac{4}{5})} {((0) - 2)}^{2}$

Этап 4.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$0^{4} {((0) - 2)}^{2}$

Этап 4.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 {((0) - 2)}^{2}$

Этап 4.3.2.3.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$0 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$0 \cdot 4$

Этап 4.3.2.3.4

Умножим $0$ на $4$ .

$0$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(\frac{4}{7}, \frac{100 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}), (2, 0), (0, 0)$

Этап 5