Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{4}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{4}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}$

Этап 1.1.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 1.1.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}$

Этап 1.1.3.5.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.1.4.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.1.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.4.4

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Этап 2.2.2

Так как $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $3, 3, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{2}{3}}$ .

Этап 2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.2.6

НОК $3, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.2.7

НОК $x^{\frac{2}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.8

НОК $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ умножим на $3 x^{\frac{2}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ на $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.5

Разделим $3$ на $3$ .

$4 x^{1} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.4

Упростим $4 x^{1}$ .

$4 x + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x + 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$4 x + 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$4 x + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.7

Сократим общий множитель $x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$4 x + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$4 x + 1 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$4 x + 1 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 3.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.3.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.3.3.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.3.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.3.3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{4}{3}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{1}{4}$ вместо $x$ .

${(- \frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}} + {(- \frac{1}{4})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}} + {(- \frac{1}{4})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{1^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- \frac{1}{4})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} \frac{1^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- \frac{1}{4})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.1.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} \frac{1^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- \frac{1}{4})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} \frac{1^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- \frac{1}{4})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

${(- 1)}^{1} \frac{1^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- \frac{1}{4})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.1.2.1.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{1^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- \frac{1}{4})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.1.2.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- \frac{1}{4})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.1.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} {(\frac{1}{4})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.1.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{1^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.8

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} \frac{1^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} \frac{1^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.10.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} \frac{1^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.10.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} + {(- 1)}^{4} \frac{1^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.11

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} + 1 \frac{1^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.12

Умножим $\frac{1^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} + \frac{1^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.1.13

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4^{\frac{3}{3}}}{4^{\frac{3}{3}}}$ .

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{4^{\frac{3}{3}}}{4^{\frac{3}{3}}} + \frac{1}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4^{\frac{4}{3}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{4^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{4^{\frac{3}{3}}}{4^{\frac{3}{3}}}$ .

$- \frac{4^{\frac{3}{3}}}{4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{3}{3}}} + \frac{1}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $4^{\frac{1}{3}}$ на $4^{\frac{3}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4^{\frac{3}{3}}}{4^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}} + \frac{1}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{4^{\frac{3}{3}}}{4^{\frac{1 + 3}{3}}} + \frac{1}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.3.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$- \frac{4^{\frac{3}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4^{\frac{3}{3}} + 1}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{- 4^{1} + 1}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.5.2

Возведем $4$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 4 + 1}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.5.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 4 + 1}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.5.4

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\frac{- 3}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{\frac{1}{3}} + {(0)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}} + {(0)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})} + {(0)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$0^{3 (\frac{1}{3})} + {(0)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$0^{1} + {(0)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.2.2.1.4

Найдем экспоненту.

$0 + {(0)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.2.2.1.5

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$0 + {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 4.2.2.1.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Этап 4.2.2.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$0 + 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Этап 4.2.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$0 + 0^{4}$

Этап 4.2.2.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- \frac{1}{4}, - \frac{3}{4^{\frac{4}{3}}}), (0, 0)$

Этап 5