Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 1}$ в виде ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.7.3

Перенесем ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.1.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 1.1.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 1.1.11.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 1.1.11.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.11.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.11.5

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 1}$ в виде ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Упростим.

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 3.3.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 3.3.3.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 3.3.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 3.3.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 3.3.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 1}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 1 < 0$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} < 1$

Этап 3.5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{1}$

Этап 3.5.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | < \sqrt{1}$

Этап 3.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | < 1$

Этап 3.5.4

Запишем $| x | < 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 3.5.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x < 1$

Этап 3.5.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 3.5.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x < 1$

Этап 3.5.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x < 1 & x \geq 0 \\ - x < 1 & x < 0 \end{cases}$

Этап 3.5.5

Найдем пересечение $x < 1$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 1$

Этап 3.5.6

Решим $- x < 1$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Разделим каждый член $- x < 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.1

Разделим каждый член $- x < 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Этап 3.5.6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{1}{- 1}$

Этап 3.5.6.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{1}{- 1}$

Этап 3.5.6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x > - 1$

Этап 3.5.6.2

Найдем пересечение $x > - 1$ и $x < 0$ .

$- 1 < x < 0$

Этап 3.5.7

Найдем объединение решений.

$- 1 < x < 1$

Этап 3.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

Этап 4

Вычислим $\sqrt{x^{2} - 1}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{0 - 1}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\sqrt{- 1}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$i$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} - 1}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\sqrt{0}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - 1}$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\sqrt{0}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Этап 4.3.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(- 1, 0), (1, 0)$

Этап 5