Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{x^{4}} - \sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\sqrt[3]{x^{4}} - \sqrt[3]{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{4}}$ в виде $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Этап 1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Этап 1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Этап 1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 1.1.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.1.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 1.1.3.7.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 1.1.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 1.1.3.9

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.1.3.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.4

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Этап 2.2.2

Так как $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $3, 3, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{1}{3}}$ .

Этап 2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.2.6

НОК $3, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.2.7

НОК $x^{\frac{1}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.2.8

НОК $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ умножим на $3 x^{\frac{1}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ на $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x^{\frac{1 + 1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ в числитель.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{\frac{2}{3}} = 2$

Этап 2.4.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1.1

Применим правило умножения к $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.3.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$8 x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.3.1.4

Упростим.

$8 x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$8 x = 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.4.2

Разделим каждый член $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Разделим каждый член $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Этап 2.4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Этап 2.4.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Этап 2.4.4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.4.4.4

Разделим каждый член $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.4.1

Разделим каждый член $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Этап 2.4.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.4.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Этап 2.4.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Этап 2.4.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Этап 2.4.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Этап 3.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Этап 3.1.4

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 x = 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x = 0$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $\sqrt[3]{x^{4}} - \sqrt[3]{x^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{4}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{4}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{3}{2}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{\frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 4}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{2^{\frac{3}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt[3]{\frac{2^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{\frac{2^{3 \cdot 2}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{2^{6}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2.2

Возведем $2$ в степень $6$ .

$\sqrt[3]{\frac{64}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{64}{4096}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $64$ и $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{64 (1)}{4096}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $64$ из $4096$ .

$\sqrt[3]{\frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt[3]{\frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{\frac{1}{64}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.5

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.6

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{64}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{4^{3}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.8

Применим правило умножения к $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{2}}{8^{2}}}$

Этап 4.1.2.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.9.1

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.9.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 2}}{8^{2}}}$

Этап 4.1.2.1.9.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.9.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 2}}{8^{2}}}$

Этап 4.1.2.1.9.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{2^{3}}{8^{2}}}$

Этап 4.1.2.1.9.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{8}{8^{2}}}$

Этап 4.1.2.1.10

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{8}{64}}$

Этап 4.1.2.1.11

Сократим общий множитель $8$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.11.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{8 (1)}{64}}$

Этап 4.1.2.1.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.11.2.1

Вынесем множитель $8$ из $64$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}}$

Этап 4.1.2.1.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}}$

Этап 4.1.2.1.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

Этап 4.1.2.1.12

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$

Этап 4.1.2.1.13

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$

Этап 4.1.2.1.14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.14.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^{3}}}$

Этап 4.1.2.1.14.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 2}{4}$

Этап 4.1.2.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1}{4}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{4}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{4} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{4}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\sqrt[3]{1 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{4}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{4}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{3}{2}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 4}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.4.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt[3]{1 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{1 \frac{2^{3 \cdot 2}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.4.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{2^{6}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.4.2

Возведем $2$ в степень $6$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{64}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.5

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\sqrt[3]{1 (\frac{64}{4096})} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.6

Сократим общий множитель $64$ и $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.1

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{64 (1)}{4096}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $64$ из $4096$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt[3]{1 \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{64})} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.7

Умножим $\frac{1}{64}$ на $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{1}{64}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.8

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.9

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{64}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.10.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{4^{3}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.11

Применим правило умножения к $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.13

Применим правило умножения к $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{2}}{8^{2}}}$

Этап 4.2.2.1.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.14.1

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.14.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 2}}{8^{2}}}$

Этап 4.2.2.1.14.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.14.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 2}}{8^{2}}}$

Этап 4.2.2.1.14.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{2^{3}}{8^{2}}}$

Этап 4.2.2.1.14.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{8}{8^{2}}}$

Этап 4.2.2.1.15

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 (\frac{8}{64})}$

Этап 4.2.2.1.16

Сократим общий множитель $8$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.16.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{8 (1)}{64}}$

Этап 4.2.2.1.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.16.2.1

Вынесем множитель $8$ из $64$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}}$

Этап 4.2.2.1.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}}$

Этап 4.2.2.1.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 (\frac{1}{8})}$

Этап 4.2.2.1.17

Умножим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

Этап 4.2.2.1.18

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$

Этап 4.2.2.1.19

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$

Этап 4.2.2.1.20

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.20.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^{3}}}$

Этап 4.2.2.1.20.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Этап 4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 2}{4}$

Этап 4.2.2.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1}{4}$

Этап 4.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{4}} - \sqrt[3]{{(0)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt[3]{0} - \sqrt[3]{{(0)}^{2}}$

Этап 4.3.2.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}} - \sqrt[3]{{(0)}^{2}}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$0 - \sqrt[3]{{(0)}^{2}}$

Этап 4.3.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \sqrt[3]{0}$

Этап 4.3.2.1.5

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$0 - \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 4.3.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$0 - 0$

Этап 4.3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.3.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{1}{4}), (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{1}{4}), (0, 0)$

Этап 5