Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 3)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x - 1) (x - 3))$

Этап 1.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x - 3))$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x - 3))$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Этап 1.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Этап 1.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Этап 1.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x + 1) (x - 3))$

Этап 1.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 3))$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ и $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1.1.5.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1.1.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1.1.5.4.2

Умножим $x^{2} - 2 x + 1$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1.1.5.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 1.1.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 1.1.5.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 1.1.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 1.1.5.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 1.1.5.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + 0)$

Этап 1.1.5.11

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2)$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Этап 1.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 1.1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 1.1.6.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 1.1.6.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 1.1.6.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 1.1.6.4.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 1.1.6.4.6

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2$

Этап 1.1.6.4.7

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 x + 6$

Этап 1.1.6.4.8

Вычтем $2 x$ из $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 8 x + 6$

Этап 1.1.6.4.9

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1 - 8 x + 6$

Этап 1.1.6.4.10

Вычтем $8 x$ из $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 1 + 6$

Этап 1.1.6.4.11

Добавим $1$ и $6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 7$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 10 x + 7$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

Этап 2.2.1.2

Запишем $- 10$ как $- 3$ плюс $- 7$

$3 x^{2} + (- 3 - 7) x + 7 = 0$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 3 x - 7 x + 7 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 3 x) - 7 x + 7 = 0$

Этап 2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (x - 1) - 7 (x - 1) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x - 7) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $3 x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $3 x - 7$ к $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $3 x - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 7$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (3 x - 7) = 0$ верно.

$x = 1, \frac{7}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим ${(x - 1)}^{2} (x - 3)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

${((1) - 1)}^{2} ((1) - 3)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$0^{2} ((1) - 3)$

Этап 4.1.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 ((1) - 3)$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $3$ из $1$ .

$0 \cdot - 2$

Этап 4.1.2.4

Умножим $0$ на $- 2$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{7}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{7}{3}$ вместо $x$ .

${((\frac{7}{3}) - 1)}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Этап 4.2.2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Этап 4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(\frac{7 - 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Этап 4.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

${(\frac{7 - 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Этап 4.2.2.4.2

Вычтем $3$ из $7$ .

${(\frac{4}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Этап 4.2.2.5

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4^{2}}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Этап 4.2.2.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Этап 4.2.2.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{16}{9} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Этап 4.2.2.8

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 4.2.2.9

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

Этап 4.2.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 3 \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 9}{3}$

Этап 4.2.2.11.2

Вычтем $9$ из $7$ .

$\frac{16}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

Этап 4.2.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$

Этап 4.2.2.13

Умножим $\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.13.1

Умножим $\frac{16}{9}$ на $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.13.2

Умножим $16$ на $2$ .

$- \frac{32}{9 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.13.3

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{32}{27}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(1, 0), (\frac{7}{3}, - \frac{32}{27})$

Этап 5