Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 3$ и $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.7.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 (x - 3) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (x - 3) x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Этап 1.1.2.7.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 (x - 3))$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Этап 1.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 3)}{x^{3}}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 3}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 6}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{- (x) + 6}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.4

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 6}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 6)}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.6

Перепишем $- (x - 6)$ в виде $- 1 (x - 6)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 6)}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x - 6}{x^{3}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x - 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x - 6 = 0$

Этап 2.3

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 6}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $\frac{x - 3}{x^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $6$ вместо $x$ .

$\frac{(6) - 3}{{(6)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{3}{6^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{3}{36}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель $3$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{36}$

Этап 4.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Этап 4.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{12}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{(0) - 3}{{(0)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{(0) - 3}{0}$

Этап 4.2.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(6, \frac{1}{12})$

Этап 5