Математический анализ Примеры

$f (x) = (4 x - 6) (5 x + 1)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x - 6$ и $g (x) = 5 x + 1$ .

$(4 x - 6) \frac{d}{d x} [5 x + 1] + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $5 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(4 x - 6) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x - 6) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x - 6) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Этап 1.1.2.4

Умножим $5$ на $1$ .

$(4 x - 6) (5 + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x - 6) (5 + 0) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $5$ и $0$ .

$(4 x - 6) \cdot 5 + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Этап 1.1.2.6.2

Перенесем $5$ влево от $4 x - 6$ .

$5 \cdot (4 x - 6) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Этап 1.1.2.7

По правилу суммы производная $4 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 1.1.2.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 1.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 1.1.2.10

Умножим $4$ на $1$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 1.1.2.11

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 + 0)$

Этап 1.1.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.12.1

Добавим $4$ и $0$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) \cdot 4$

Этап 1.1.2.12.2

Перенесем $4$ влево от $5 x + 1$ .

$5 (4 x - 6) + 4 \cdot (5 x + 1)$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (4 x) + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x + 1)$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (4 x) + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3.2

Умножим $5$ на $- 6$ .

$20 x - 30 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3.3

Умножим $5$ на $4$ .

$20 x - 30 + 20 x + 4 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$20 x - 30 + 20 x + 4$

Этап 1.1.3.3.5

Добавим $20 x$ и $20 x$ .

$40 x - 30 + 4$

Этап 1.1.3.3.6

Добавим $- 30$ и $4$ .

$f' (x) = 40 x - 26$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $40 x - 26$ .

$40 x - 26$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $40 x - 26 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$40 x - 26 = 0$

Этап 2.2

Добавим $26$ к обеим частям уравнения.

$40 x = 26$

Этап 2.3

Разделим каждый член $40 x = 26$ на $40$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $40 x = 26$ на $40$ .

$\frac{40 x}{40} = \frac{26}{40}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{40 x}{40} = \frac{26}{40}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{26}{40}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $26$ и $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $26$ .

$x = \frac{2 (13)}{40}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $40$ .

$x = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{13}{20}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $(4 x - 6) (5 x + 1)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{13}{20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{13}{20}$ вместо $x$ .

$(4 (\frac{13}{20}) - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$(4 \frac{13}{4 (5)} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$(4 \frac{13}{4 \cdot 5} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Этап 4.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$(\frac{13}{5} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$(\frac{13}{5} - 6 \cdot \frac{5}{5}) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Этап 4.1.2.3

Объединим $- 6$ и $\frac{5}{5}$ .

$(\frac{13}{5} + \frac{- 6 \cdot 5}{5}) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13 - 6 \cdot 5}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $- 6$ на $5$ .

$\frac{13 - 30}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $30$ из $13$ .

$\frac{- 17}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Этап 4.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{17}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Этап 4.1.2.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$- \frac{17}{5} (5 \frac{13}{5 (4)} + 1)$

Этап 4.1.2.7.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{17}{5} (5 \frac{13}{5 \cdot 4} + 1)$

Этап 4.1.2.7.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{17}{5} (\frac{13}{4} + 1)$

Этап 4.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{17}{5} (\frac{13}{4} + \frac{4}{4})$

Этап 4.1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{17}{5} \cdot \frac{13 + 4}{4}$

Этап 4.1.2.8.3

Добавим $13$ и $4$ .

$- \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{4}$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Умножим $\frac{17}{4}$ на $\frac{17}{5}$ .

$- \frac{17 \cdot 17}{4 \cdot 5}$

Этап 4.1.2.9.2

Умножим $17$ на $17$ .

$- \frac{289}{4 \cdot 5}$

Этап 4.1.2.9.3

Умножим $4$ на $5$ .

$- \frac{289}{20}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(\frac{13}{20}, - \frac{289}{20})$

Этап 5