Математический анализ Примеры

$\cos (2 x) - x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\cos (2 x) - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- \sin (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \sin (2 x) - 1$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 1 - 2 \sin (2 x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 1 - 2 \sin (2 x)$ .

$- 1 - 2 \sin (2 x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 1 - 2 \sin (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 1 - 2 \sin (2 x) = 0$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin (2 x) = 1$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 2 \sin (2 x) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (2 x) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Этап 2.6

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 2.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.6.3.2

Умножим $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Этап 2.6.3.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Этап 2.7

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 2.8

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 2.8.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Этап 2.8.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 2.8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 2.8.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 2.8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.8.3.3.2

Умножим $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Этап 2.8.3.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Этап 2.9

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.9.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.9.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.10

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{12} + π$

Этап 2.10.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 2.10.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Объединим $π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 2.10.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Этап 2.10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Этап 2.10.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Этап 2.10.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{12}$

Этап 2.11

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\cos (2 x) - x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{7 π}{12}$ вместо $x$ .

$\cos (2 (\frac{7 π}{12})) - (\frac{7 π}{12})$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\cos (2 \frac{7 π}{2 (6)}) - (\frac{7 π}{12})$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{7 π}{12})$

Этап 4.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{7 π}{6}) - (\frac{7 π}{12})$

Этап 4.1.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \cos (\frac{π}{6}) - (\frac{7 π}{12})$

Этап 4.1.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7 π}{12}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{19 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{19 π}{12}$ вместо $x$ .

$\cos (2 (\frac{19 π}{12})) - (\frac{19 π}{12})$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\cos (2 \frac{19 π}{2 (6)}) - (\frac{19 π}{12})$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{19 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{19 π}{12})$

Этап 4.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{19 π}{6}) - (\frac{19 π}{12})$

Этап 4.2.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) - (\frac{19 π}{12})$

Этап 4.2.2.3

$- \cos (\frac{π}{6}) - (\frac{19 π}{12})$

Этап 4.2.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{19 π}{12}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{31 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{31 π}{12}$ вместо $x$ .

$\cos (2 (\frac{31 π}{12})) - (\frac{31 π}{12})$

Этап 4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\cos (2 \frac{31 π}{2 (6)}) - (\frac{31 π}{12})$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{31 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{31 π}{12})$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{31 π}{6}) - (\frac{31 π}{12})$

Этап 4.3.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) - (\frac{31 π}{12})$

Этап 4.3.2.3

$- \cos (\frac{π}{6}) - (\frac{31 π}{12})$

Этап 4.3.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{31 π}{12}$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = \frac{43 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $\frac{43 π}{12}$ вместо $x$ .

$\cos (2 (\frac{43 π}{12})) - (\frac{43 π}{12})$

Этап 4.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\cos (2 \frac{43 π}{2 (6)}) - (\frac{43 π}{12})$

Этап 4.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{43 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{43 π}{12})$

Этап 4.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{43 π}{6}) - (\frac{43 π}{12})$

Этап 4.4.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) - (\frac{43 π}{12})$

Этап 4.4.2.3

$- \cos (\frac{π}{6}) - (\frac{43 π}{12})$

Этап 4.4.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{43 π}{12}$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = \frac{55 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $\frac{55 π}{12}$ вместо $x$ .

$\cos (2 (\frac{55 π}{12})) - (\frac{55 π}{12})$

Этап 4.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\cos (2 \frac{55 π}{2 (6)}) - (\frac{55 π}{12})$

Этап 4.5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{55 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{55 π}{12})$

Этап 4.5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{55 π}{6}) - (\frac{55 π}{12})$

Этап 4.5.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) - (\frac{55 π}{12})$

Этап 4.5.2.3

$- \cos (\frac{π}{6}) - (\frac{55 π}{12})$

Этап 4.5.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{55 π}{12}$

Этап 4.6

Найдем значение в $x = \frac{11 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Подставим $\frac{11 π}{12}$ вместо $x$ .

$\cos (2 (\frac{11 π}{12})) - (\frac{11 π}{12})$

Этап 4.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\cos (2 \frac{11 π}{2 (6)}) - (\frac{11 π}{12})$

Этап 4.6.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{11 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{11 π}{12})$

Этап 4.6.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{11 π}{6}) - (\frac{11 π}{12})$

Этап 4.6.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{6}) - (\frac{11 π}{12})$

Этап 4.6.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{11 π}{12}$

Этап 4.7

Найдем значение в $x = \frac{23 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Подставим $\frac{23 π}{12}$ вместо $x$ .

$\cos (2 (\frac{23 π}{12})) - (\frac{23 π}{12})$

Этап 4.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\cos (2 \frac{23 π}{2 (6)}) - (\frac{23 π}{12})$

Этап 4.7.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{23 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{23 π}{12})$

Этап 4.7.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{23 π}{6}) - (\frac{23 π}{12})$

Этап 4.7.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{11 π}{6}) - (\frac{23 π}{12})$

Этап 4.7.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{6}) - (\frac{23 π}{12})$

Этап 4.7.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{23 π}{12}$

Этап 4.8

Найдем значение в $x = \frac{35 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Подставим $\frac{35 π}{12}$ вместо $x$ .

$\cos (2 (\frac{35 π}{12})) - (\frac{35 π}{12})$

Этап 4.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\cos (2 \frac{35 π}{2 (6)}) - (\frac{35 π}{12})$

Этап 4.8.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{35 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{35 π}{12})$

Этап 4.8.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{35 π}{6}) - (\frac{35 π}{12})$

Этап 4.8.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{11 π}{6}) - (\frac{35 π}{12})$

Этап 4.8.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{6}) - (\frac{35 π}{12})$

Этап 4.8.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{35 π}{12}$

Этап 4.9

Найдем значение в $x = \frac{47 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Подставим $\frac{47 π}{12}$ вместо $x$ .

$\cos (2 (\frac{47 π}{12})) - (\frac{47 π}{12})$

Этап 4.9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\cos (2 \frac{47 π}{2 (6)}) - (\frac{47 π}{12})$

Этап 4.9.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{47 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{47 π}{12})$

Этап 4.9.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{47 π}{6}) - (\frac{47 π}{12})$

Этап 4.9.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{11 π}{6}) - (\frac{47 π}{12})$

Этап 4.9.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{6}) - (\frac{47 π}{12})$

Этап 4.9.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{47 π}{12}$

Этап 4.10

Найдем значение в $x = \frac{59 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Подставим $\frac{59 π}{12}$ вместо $x$ .

$\cos (2 (\frac{59 π}{12})) - (\frac{59 π}{12})$

Этап 4.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\cos (2 \frac{59 π}{2 (6)}) - (\frac{59 π}{12})$

Этап 4.10.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 \frac{59 π}{2 \cdot 6}) - (\frac{59 π}{12})$

Этап 4.10.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{59 π}{6}) - (\frac{59 π}{12})$

Этап 4.10.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{11 π}{6}) - (\frac{59 π}{12})$

Этап 4.10.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{6}) - (\frac{59 π}{12})$

Этап 4.10.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{59 π}{12}$

Этап 4.11

Перечислим все точки.

$(\frac{7 π}{12}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7 π}{12}), (\frac{19 π}{12}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{19 π}{12}), (\frac{31 π}{12}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{31 π}{12}), (\frac{43 π}{12}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{43 π}{12}), (\frac{55 π}{12}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{55 π}{12}), (\frac{11 π}{12}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{11 π}{12}), (\frac{23 π}{12}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{23 π}{12}), (\frac{35 π}{12}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{35 π}{12}), (\frac{47 π}{12}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{47 π}{12}), (\frac{59 π}{12}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{59 π}{12})$

Этап 5