Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

Этап 1.1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x^{2} - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x^{2} - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Этап 2.4.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Этап 2.4.2.1.3

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2.3

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2.3.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.2.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4.2.4

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2.4.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.4.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим ${(x^{2} - 1)}^{3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${({(0)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(0 - 1)}^{3}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

${(- 1)}^{3}$

Этап 4.1.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

${(1 - 1)}^{3}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0^{3}$

Этап 4.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

${(1 - 1)}^{3}$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0^{3}$

Этап 4.3.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Этап 5