Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ в виде ${(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 2 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 2 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2 x + 8$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 1.1.3.6

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Этап 1.1.3.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x) - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 x - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$(- 2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.6

Умножим $- 2 x + 2$ на $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.7

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.7.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.9

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.11

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.1.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 (x - 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $2 (x - 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 8}$

Этап 4.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{1 - 2 \cdot 1 + 8}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{1 - 2 + 8}$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{- 1 + 8}$

Этап 4.1.2.4

Добавим $- 1$ и $8$ .

$\frac{1}{7}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(1, \frac{1}{7})$

Этап 5