Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{3} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 1$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{1}{3} x^{3} - x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - (1)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - (1)$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} - (1)$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} - 1$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1 - 3}{3}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{- 2}{3}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 - (- 1)$

Этап 4.2.2.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{3} - (- 1)$

Этап 4.2.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} - (- 1)$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 4.2.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 3}{3}$

Этап 4.2.2.2.3

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(1, - \frac{2}{3}), (- 1, \frac{2}{3})$

Этап 5