Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 36 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{3} - 36 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} - 36 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 36$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 36$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} - 36$ .

$x^{2} - 36$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} - 36 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} - 36 = 0$

Этап 2.2

Добавим $36$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 36$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{36}$

Этап 2.4

Упростим $\pm \sqrt{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Этап 2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 6$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 6$

Этап 2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 6$

Этап 2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 6, - 6$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{x^{3}}{3} - 36 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $6$ вместо $x$ .

$\frac{{(6)}^{3}}{3} - 36 \cdot 6$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{216}{3} - 36 \cdot 6$

Этап 4.1.2.1.2

Разделим $216$ на $3$ .

$72 - 36 \cdot 6$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 36$ на $6$ .

$72 - 216$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $216$ из $72$ .

$- 144$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 6$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 6)}^{3}}{3} - 36 \cdot - 6$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$\frac{- 216}{3} - 36 \cdot - 6$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $- 216$ на $3$ .

$- 72 - 36 \cdot - 6$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $- 36$ на $- 6$ .

$- 72 + 216$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 72$ и $216$ .

$144$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(6, - 144), (- 6, 144)$

Этап 5