Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 9$ и $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Разложим $x^{2} - 10 x + 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $9$ , а сумма — $- 10$ .

$- 9, - 1$

Этап 1.1.3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x - 9) (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 2.3.2.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 9) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 9, 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4

Вычислим $\frac{x^{2} - 9}{x - 5}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

$\frac{{(9)}^{2} - 9}{(9) - 5}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{81 - 9}{9 - 5}$

Этап 4.1.2.1.2

Вычтем $9$ из $81$ .

$\frac{72}{9 - 5}$

Этап 4.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $5$ из $9$ .

$\frac{72}{4}$

Этап 4.1.2.2.2

Разделим $72$ на $4$ .

$18$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 9}{(1) - 5}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 9}{1 - 5}$

Этап 4.2.2.1.2

Вычтем $9$ из $1$ .

$\frac{- 8}{1 - 5}$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{- 8}{- 4}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $- 8$ на $- 4$ .

$2$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{(5) - 5}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{0}$

Этап 4.3.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(9, 18), (1, 2)$

Этап 5