Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{- 4 x}{x + 9}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{x + 9}]$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4 x}{x + 9}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 9}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 9}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 9$ .

$- 4 \frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \frac{(x + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Умножим $x + 9$ на $1$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$- 4 \frac{0 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.4

Добавим $0$ и $9$ .

$- 4 \frac{9}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.5

Объединим $- 4$ и $\frac{9}{{(x + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.6.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$\frac{- 36}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$36 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $36 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 9)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 4

Вычислим $\frac{- 4 x}{x + 9}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 9$ вместо $x$ .

$\frac{- 4 \cdot - 9}{(- 9) + 9}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$\frac{- 4 \cdot - 9}{0}$

Этап 4.1.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 5

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены