Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{4 x - 5}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x - 5}$ в виде ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x + 3$ и $g (x) = {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{1}}$

Этап 1.1.4

Упростим.

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Этап 1.1.5.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Этап 1.1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Этап 1.1.5.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Этап 1.1.5.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Этап 1.1.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Этап 1.1.5.6.2

Перенесем $2$ влево от ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Этап 1.1.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x - 5$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x - 5$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{{(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.11.3

Перенесем ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Этап 1.1.12

По правилу суммы производная $4 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Этап 1.1.13

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Этап 1.1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Этап 1.1.15

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Этап 1.1.16

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0))}{4 x - 5}$

Этап 1.1.17

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.17.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4)}{4 x - 5}$

Этап 1.1.17.2

Объединим $\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $4$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{4}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.17.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.18.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.18.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.18.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.2.1

Добавим круглые скобки.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.2

Пусть $u_{2} = {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u_{2} \cdot u_{2} + 2 (- 2 x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u_{2} \cdot u_{2}$ .

$\frac{\frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) + 2 (- 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (u_{2} \cdot u_{2}) + 2 (- 2 x - 3)$ .

$\frac{\frac{2 (u_{2} \cdot u_{2} - 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ .

$\frac{\frac{2 ({u_{2}}^{2} - 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 ({({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.2.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.2.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.2.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{1} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.4.1.2

Упростим.

$\frac{\frac{2 (4 x - 5 - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.4.2

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x - 5 - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.4.3

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$\frac{\frac{2 (2 x - 8)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.4.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{4 x + 2 \cdot - 8}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.4.6

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{\frac{4 x - 16}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.5

Вынесем множитель $4$ из $4 x - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (x) - 16}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$\frac{\frac{4 x + 4 \cdot - 4}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.2.5.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.3.1

Перепишем $\frac{\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$ в виде произведения.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 x - 5}$

Этап 1.1.19.3.2

Умножим $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{4 x - 5}$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (4 x - 5)}$

Этап 1.1.19.3.3

Умножим ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ на $4 x - 5$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.3.3.1

Умножим ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ на $4 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.3.3.1.1

Возведем $4 x - 5$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 5)}^{1}}$

Этап 1.1.19.3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 1.1.19.3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.19.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 1.1.19.3.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 (x - 4) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $4 (x - 4) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $4 (x - 4) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $x - 4$ на $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4 (x - 4)}{\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{4 (x - 4)}{\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}$ в виде ${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

${({(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x - 5)}^{3} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(4 x - 5)}^{3} = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Этап 3.3.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 5$

Этап 3.3.3.2.2

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 3.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(4 x - 5)}^{3} < 0$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{{(4 x - 5)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 3.5.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$4 x - 5 < \sqrt[3]{0}$

Этап 3.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$4 x - 5 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$4 x - 5 < 0$

Этап 3.5.3

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$4 x < 5$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $4 x < 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $4 x < 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{5}{4}$

Этап 3.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq \frac{5}{4}$

$(- \infty, \frac{5}{4}]$

$x \leq \frac{5}{4}$

$(- \infty, \frac{5}{4}]$

Этап 4

Вычислим $\frac{2 x + 3}{\sqrt{4 x - 5}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$\frac{2 (4) + 3}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 + 3}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

Этап 4.1.2.1.2

Добавим $8$ и $3$ .

$\frac{11}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{11}{\sqrt{16 - 5}}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $5$ из $16$ .

$\frac{11}{\sqrt{11}}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $\frac{11}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{11}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Этап 4.1.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $\frac{11}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 4.1.2.4.2

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

Этап 4.1.2.4.3

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

Этап 4.1.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Этап 4.1.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 4.1.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.1.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.1.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.1.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.1.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{1}}$

Этап 4.1.2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11}$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11}$

Этап 4.1.2.5.2

Разделим $\sqrt{11}$ на $1$ .

$\sqrt{11}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{5}{4}$ вместо $x$ .

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{4 (\frac{5}{4}) - 5}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{4 (\frac{5}{4}) - 5}}$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{5 - 5}}$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{0}}$

Этап 4.2.2.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{0^{2}}}$

Этап 4.2.2.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{0}$

Этап 4.2.2.2.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{0}$

Этап 4.2.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(4, \sqrt{11})$

Этап 5