Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{196 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{196 - x^{2}}$ в виде ${(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 196 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $196 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $196 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(196 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(196 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(196 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(196 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(196 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(196 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8.3

Перенесем ${(196 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (196 - x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (196 - x^{2}) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.9

По правилу суммы производная $196 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (196) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.10

Поскольку $196$ является константой относительно $x$ , производная $196$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.14.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.14.3

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.18

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.20.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.20.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.23

Умножим ${(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.24

Чтобы записать ${(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26

Умножим ${(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(196 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(196 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 196 - x^{2}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.27

Упростим ${(196 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 196 - x^{2}}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.28

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 196}{{(196 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.29

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 196}{{(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 2 x^{2} + 196}{{(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 196}{{(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 2 x^{2} + 196}{{(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 196}{{(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 2 x^{2} + 196 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $196$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} = - 196$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 196$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 196$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 196}{- 2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 196}{- 2}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 196}{- 2}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $- 196$ на $- 2$ .

$x^{2} = 98$

Этап 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{98}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{98}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $98$ в виде $7^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Вынесем множитель $49$ из $98$ .

$x = \pm \sqrt{49 (2)}$

Этап 2.3.4.1.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 7 \sqrt{2}$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 7 \sqrt{2}$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 7 \sqrt{2}$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 7 \sqrt{2}, - 7 \sqrt{2}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{- 2 x^{2} + 196}{\sqrt{{(- x^{2} + 196)}^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{- 2 x^{2} + 196}{\sqrt{- x^{2} + 196}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{- 2 x^{2} + 196}{\sqrt{- x^{2} + 196}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{- x^{2} + 196} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- x^{2} + 196}}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x^{2} + 196}$ в виде ${(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${({(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- x^{2} + 196)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- x^{2} + 196)}^{1} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Упростим.

$- x^{2} + 196 = 0^{2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- x^{2} + 196 = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вычтем $196$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 196$

Этап 3.3.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 196$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 196$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 196}{- 1}$

Этап 3.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 196}{- 1}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 196}{- 1}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Разделим $- 196$ на $- 1$ .

$x^{2} = 196$

Этап 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{196}$

Этап 3.3.3.4

Упростим $\pm \sqrt{196}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1

Перепишем $196$ в виде $14^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{14^{2}}$

Этап 3.3.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 14$

Этап 3.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 14$

Этап 3.3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 14$

Этап 3.3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 14, - 14$

Этап 3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x^{2} + 196}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$- x^{2} + 196 < 0$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $196$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} < - 196$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- x^{2} < - 196$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} < - 196$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 196}{- 1}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 196}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} > \frac{- 196}{- 1}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Разделим $- 196$ на $- 1$ .

$x^{2} > 196$

Этап 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{196}$

Этап 3.5.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > \sqrt{196}$

Этап 3.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Упростим $\sqrt{196}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Перепишем $196$ в виде $14^{2}$ .

$| x | > \sqrt{14^{2}}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > | 14 |$

Этап 3.5.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $14$ равно $14$ .

$| x | > 14$

Этап 3.5.5

Запишем $| x | > 14$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 3.5.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x > 14$

Этап 3.5.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 3.5.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x > 14$

Этап 3.5.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x > 14 & x \geq 0 \\ - x > 14 & x < 0 \end{cases}$

Этап 3.5.6

Найдем пересечение $x > 14$ и $x \geq 0$ .

$x > 14$

Этап 3.5.7

Разделим каждый член $- x > 14$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Разделим каждый член $- x > 14$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{14}{- 1}$

Этап 3.5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{14}{- 1}$

Этап 3.5.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{14}{- 1}$

Этап 3.5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.3.1

Разделим $14$ на $- 1$ .

$x < - 14$

Этап 3.5.8

Найдем объединение решений.

$x < - 14$ или $x > 14$

Этап 3.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 14, x \geq 14$

$(- \infty, - 14] \cup [14, \infty)$

$x \leq - 14, x \geq 14$

$(- \infty, - 14] \cup [14, \infty)$

Этап 4

Вычислим $x \sqrt{196 - x^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 7 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $7 \sqrt{2}$ вместо $x$ .

$(7 \sqrt{2}) \sqrt{196 - {(7 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $7 \sqrt{2}$ .

$7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (7^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 4.1.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.1.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 4.1.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 4.1.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 4.1.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 \cdot 2^{1})}$

Этап 4.1.2.2.5

Найдем экспоненту.

$7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 \cdot 2)}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- (49 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $49$ на $2$ .

$7 \sqrt{2} \sqrt{196 - 1 \cdot 98}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $- 1$ на $98$ .

$7 \sqrt{2} \sqrt{196 - 98}$

Этап 4.1.2.4

Вычтем $98$ из $196$ .

$7 \sqrt{2} \sqrt{98}$

Этап 4.1.2.5

Перепишем $98$ в виде $7^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Вынесем множитель $49$ из $98$ .

$7 \sqrt{2} \sqrt{49 (2)}$

Этап 4.1.2.5.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$7 \sqrt{2} \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$7 \sqrt{2} (7 \sqrt{2})$

Этап 4.1.2.7

Умножим $7 \sqrt{2} (7 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $7$ на $7$ .

$49 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Этап 4.1.2.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$49 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Этап 4.1.2.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$49 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Этап 4.1.2.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$49 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Этап 4.1.2.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$49 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 4.1.2.8

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$49 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.1.2.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.1.2.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$49 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.1.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$49 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.1.2.8.4.2

Перепишем это выражение.

$49 \cdot 2^{1}$

Этап 4.1.2.8.5

Найдем экспоненту.

$49 \cdot 2$

Этап 4.1.2.9

Умножим $49$ на $2$ .

$98$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 7 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 7 \sqrt{2}$ вместо $x$ .

$(- 7 \sqrt{2}) \sqrt{196 - {(- 7 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- 7 \sqrt{2}$ .

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{196 - ({(- 7)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 4.2.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.2.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 4.2.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 4.2.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 4.2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 \cdot 2^{1})}$

Этап 4.2.2.2.5

Найдем экспоненту.

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{196 - (49 \cdot 2)}$

Этап 4.2.2.3

Умножим $- (49 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $49$ на $2$ .

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{196 - 1 \cdot 98}$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $98$ .

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{196 - 98}$

Этап 4.2.2.4

Вычтем $98$ из $196$ .

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{98}$

Этап 4.2.2.5

Перепишем $98$ в виде $7^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Вынесем множитель $49$ из $98$ .

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{49 (2)}$

Этап 4.2.2.5.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$- 7 \sqrt{2} \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Этап 4.2.2.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 7 \sqrt{2} (7 \sqrt{2})$

Этап 4.2.2.7

Умножим $- 7 \sqrt{2} (7 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.7.1

Умножим $7$ на $- 7$ .

$- 49 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Этап 4.2.2.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 49 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Этап 4.2.2.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 49 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Этап 4.2.2.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 49 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Этап 4.2.2.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 49 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 4.2.2.8

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 49 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.2.2.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 49 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.2.2.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 49 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.2.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$- 49 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.2.2.8.4.2

Перепишем это выражение.

$- 49 \cdot 2^{1}$

Этап 4.2.2.8.5

Найдем экспоненту.

$- 49 \cdot 2$

Этап 4.2.2.9

Умножим $- 49$ на $2$ .

$- 98$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- 14$ вместо $x$ .

$(- 14) \sqrt{196 - {(- 14)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $- 14$ в степень $2$ .

$- 14 \sqrt{196 - 1 \cdot 196}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $196$ .

$- 14 \sqrt{196 - 196}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $196$ из $196$ .

$- 14 \sqrt{0}$

Этап 4.3.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- 14 \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- 14 \cdot 0$

Этап 4.3.2.6

Умножим $- 14$ на $0$ .

$0$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $14$ вместо $x$ .

$(14) \sqrt{196 - {(14)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$14 \sqrt{196 - 1 \cdot 196}$

Этап 4.4.2.2

Умножим $- 1$ на $196$ .

$14 \sqrt{196 - 196}$

Этап 4.4.2.3

Вычтем $196$ из $196$ .

$14 \sqrt{0}$

Этап 4.4.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$14 \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$14 \cdot 0$

Этап 4.4.2.6

Умножим $14$ на $0$ .

$0$

Этап 4.5

Перечислим все точки.

$(7 \sqrt{2}, 98), (- 7 \sqrt{2}, - 98), (- 14, 0), (14, 0)$

Этап 5