Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x^{3} + x^{2} + 8 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $8 x^{3} + x^{2} + 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 2 x + 8$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x^{2} + 2 x + 8$ .

$24 x^{2} + 2 x + 8$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$24 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2$ из $24 x^{2} + 2 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $24 x^{2}$ .

$2 (12 x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 (12 x^{2}) + 2 (x) + 8 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (12 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 4 = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (12 x^{2}) + 2 x$ .

$2 (12 x^{2} + x) + 2 \cdot 4 = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (12 x^{2} + x) + 2 \cdot 4$ .

$2 (12 x^{2} + x + 4) = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 (12 x^{2} + x + 4) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 (12 x^{2} + x + 4) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (12 x^{2} + x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (12 x^{2} + x + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $12 x^{2} + x + 4$ на $1$ .

$12 x^{2} + x + 4 = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$12 x^{2} + x + 4 = 0$

Этап 2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5

Подставим значения $a = 12$ , $b = 1$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (12 \cdot 4)}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 12 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 12 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 48$ на $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $192$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $- 191$ в виде $- 1 (191)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (191)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{24}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 12 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 12 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 48$ на $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.7.1.3

Вычтем $192$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $- 191$ в виде $- 1 (191)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (191)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{24}$

Этап 2.7.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{191}}{24}$

Этап 2.7.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{191}}{24}$

Этап 2.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{191}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{191})}{24}$

Этап 2.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{191})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{191})}{24}$

Этап 2.7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{191}}{24}$

Этап 2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 12 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 12 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48 \cdot 4}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.8.1.2.2

Умножим $- 48$ на $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.8.1.3

Вычтем $192$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.8.1.4

Перепишем $- 191$ в виде $- 1 (191)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.8.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (191)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.8.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 12}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{191}}{24}$

Этап 2.8.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{191}}{24}$

Этап 2.8.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{191}}{24}$

Этап 2.8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{191}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{191})}{24}$

Этап 2.8.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{191})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{191})}{24}$

Этап 2.8.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{191}}{24}$

Этап 2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{191}}{24}, - \frac{1 + i \sqrt{191}}{24}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены