Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 1.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 1.1.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.1.9

Объединим $5$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Этап 1.1.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.1.10.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$10 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $10 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{10}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 x = 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x = 0$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $5 x^{\frac{2}{3}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$5 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$5 \cdot 0^{2}$

Этап 4.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 \cdot 0$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $5$ на $0$ .

$0$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 5