Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{3} + 15 x - 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{3} + 15 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 x^{2} + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $15$ на $1$ .

$15 x^{2} + 15 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$15 x^{2} + 15 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $15 x^{2} + 15$ и $0$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 15$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $15 x^{2} + 15$ .

$15 x^{2} + 15$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $15 x^{2} + 15 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$15 x^{2} + 15 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$15 x^{2} = - 15$

Этап 2.3

Разделим каждый член $15 x^{2} = - 15$ на $15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $15 x^{2} = - 15$ на $15$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{- 15}{15}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{- 15}{15}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 15}{15}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 15$ на $15$ .

$x^{2} = - 1$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.5

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены