Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{4} - 16 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 16 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 x^{3} - 16 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 16$ на $1$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 16$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $20 x^{3} - 16$ .

$20 x^{3} - 16$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $20 x^{3} - 16 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$20 x^{3} - 16 = 0$

Этап 2.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$20 x^{3} = 16$

Этап 2.3

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$20 x^{3} - 16 = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $4$ из $20 x^{3} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20 x^{3}$ .

$4 (5 x^{3}) - 16 = 0$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$4 (5 x^{3}) + 4 (- 4) = 0$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (5 x^{3}) + 4 (- 4)$ .

$4 (5 x^{3} - 4) = 0$

Этап 2.5

Разделим каждый член $4 (5 x^{3} - 4) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $4 (5 x^{3} - 4) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3} - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (5 x^{3} - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $5 x^{3} - 4$ на $1$ .

$5 x^{3} - 4 = \frac{0}{4}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$5 x^{3} - 4 = 0$

Этап 2.6

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{3} = 4$

Этап 2.7

Разделим каждый член $5 x^{3} = 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $5 x^{3} = 4$ на $5$ .

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{4}{5}$

Этап 2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{4}{5}$

Этап 2.7.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{4}{5}$

Этап 2.8

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{\frac{4}{5}}$

Этап 2.9

Упростим $\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$

Этап 2.9.2

Умножим $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 2.9.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 2.9.3.2

Возведем $\sqrt[3]{5}$ в степень $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 2.9.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Этап 2.9.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Этап 2.9.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{5}$ в виде $5^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 2.9.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 2.9.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.9.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.9.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Этап 2.9.3.5.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Этап 2.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Этап 2.9.4.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{25}}{5}$

Этап 2.9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot 25}}{5}$

Этап 2.9.5.2

Умножим $4$ на $25$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $5 x^{4} - 16 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ вместо $x$ .

$5 {(\frac{\sqrt[3]{100}}{5})}^{4} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

$5 \frac{{\sqrt[3]{100}}^{4}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{100}}^{4}$ в виде $\sqrt[3]{100^{4}}$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{100^{4}}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.2.2

Возведем $100$ в степень $4$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{100000000}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.2.3

Перепишем $100000000$ в виде $100^{3} \cdot 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $1000000$ из $100000000$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{1000000 (100)}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.2.3.2

Перепишем $1000000$ в виде $100^{3}$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{100^{3} \cdot 100}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $5$ в степень $4$ .

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{625} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $625$ .

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5 (125)} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5 \cdot 125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{100 \sqrt[3]{100}}{125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.5

Сократим общий множитель $100$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Вынесем множитель $25$ из $100 \sqrt[3]{100}$ .

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{25 (5)} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{25 \cdot 5} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.6

Объединим $- 16$ и $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} + \frac{- 16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} - \frac{16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \sqrt[3]{100} - 16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $16 \sqrt[3]{100}$ из $4 \sqrt[3]{100}$ .

$\frac{- 12 \sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12 \sqrt[3]{100}}{5}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(\frac{\sqrt[3]{100}}{5}, - \frac{12 \sqrt[3]{100}}{5})$

Этап 5