Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 2$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{3}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 8$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ .

$12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x^{2} + 12 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $12 x$ из $- 24 x^{2}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2 x) + 12 x = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2 x) + 12 x (1) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2 x)$ .

$12 x (x^{2} - 2 x) + 12 x (1) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2} - 2 x) + 12 x (1)$ .

$12 x (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.2.2.3

Перепишем многочлен.

$12 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$12 x {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x {(x - 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 2$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$3 {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 2$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 - 8 {(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 2$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 2$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 6 {(0)}^{2} + 2$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 8$ на $0$ .

$0 + 0 + 6 {(0)}^{2} + 2$

Этап 4.1.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 6 \cdot 0 + 2$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $6$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 + 2$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 + 2$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 2$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$3 {(1)}^{4} - 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 2$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 2$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 2$

Этап 4.2.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 - 8 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 2$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 8$ на $1$ .

$3 - 8 + 6 {(1)}^{2} + 2$

Этап 4.2.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$3 - 8 + 6 \cdot 1 + 2$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $6$ на $1$ .

$3 - 8 + 6 + 2$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $8$ из $3$ .

$- 5 + 6 + 2$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 5$ и $6$ .

$1 + 2$

Этап 4.2.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 2), (1, 3)$

Этап 5