Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.5.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Этап 1.1.6.2

Добавим $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{3}) + 12 (- x^{2})$ .

$12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x)$ .

$12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1) = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1)$ .

$12 (x^{3} - x^{2} - x + 1) = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$12 ((x^{3} - x^{2}) - x + 1) = 0$

Этап 2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$12 (x^{2} (x - 1) - (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.2.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Этап 2.2.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$12 ((x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Этап 2.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 ((x - 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

Этап 2.2.6.1.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

Этап 2.2.6.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)) = 0$

Этап 2.2.6.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$12 ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) = 0$

Этап 2.2.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ верно.

$x = 1, - 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$3 {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 - 4 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$3 - 4 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Этап 4.1.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$3 - 4 - 6 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $- 6$ на $1$ .

$3 - 4 - 6 + 12 (1) + 1$

Этап 4.1.2.1.7

Умножим $12$ на $1$ .

$3 - 4 - 6 + 12 + 1$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $4$ из $3$ .

$- 1 - 6 + 12 + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$- 7 + 12 + 1$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $- 7$ и $12$ .

$5 + 1$

Этап 4.1.2.2.4

Добавим $5$ и $1$ .

$6$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$3 {(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$3 \cdot 1 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$3 - 4 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$3 + 4 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Этап 4.2.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$3 + 4 - 6 \cdot 1 + 12 (- 1) + 1$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $- 6$ на $1$ .

$3 + 4 - 6 + 12 (- 1) + 1$

Этап 4.2.2.1.7

Умножим $12$ на $- 1$ .

$3 + 4 - 6 - 12 + 1$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $3$ и $4$ .

$7 - 6 - 12 + 1$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $6$ из $7$ .

$1 - 12 + 1$

Этап 4.2.2.2.3

Вычтем $12$ из $1$ .

$- 11 + 1$

Этап 4.2.2.2.4

Добавим $- 11$ и $1$ .

$- 10$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(1, 6), (- 1, - 10)$

Этап 5