Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 - x^{- 2}$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 4$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 2.4

Каждый член в $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ на $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 4 x^{2}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 x^{2} = - 1$ .

$- 4 x^{2} = - 1$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 2.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 2.5.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.5.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 2.5.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.5.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 2.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 2.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $4 x + \frac{1}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $x$ .

$4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 + 1 \cdot 2$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2$

Этап 4.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$4$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$4 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 \cdot - 1 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- 2 + \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 2 - (1 \cdot 2)$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $- (1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 - 1 \cdot 2$

Этап 4.2.2.1.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 - 2$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$- 4$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$4 (0) + \frac{1}{0}$

Этап 4.3.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(\frac{1}{2}, 4), (- \frac{1}{2}, - 4)$

Этап 5