Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} + 6 x^{3} - 5$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 6 x^{3} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $6$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $12 x^{3} + 18 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 18 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $12 x^{3}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $18 x^{2}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3)$ .

$6 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 x^{2} (2 x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x^{4} + 6 x^{3} - 5$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$3 {(0)}^{4} + 6 {(0)}^{3} - 5$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 + 6 {(0)}^{3} - 5$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 + 6 {(0)}^{3} - 5$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 6 \cdot 0 - 5$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $6$ на $0$ .

$0 + 0 - 5$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 5$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \frac{3}{2}$ вместо $x$ .

$3 {(- \frac{3}{2})}^{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Этап 4.2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$3 (1 \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$3 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Этап 4.2.2.1.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$3 \frac{81}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Этап 4.2.2.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$3 (\frac{81}{16}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $3 (\frac{81}{16})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.1

Объединим $3$ и $\frac{81}{16}$ .

$\frac{3 \cdot 81}{16} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Этап 4.2.2.1.6.2

Умножим $3$ на $81$ .

$\frac{243}{16} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 5$

Этап 4.2.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{243}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 5$

Этап 4.2.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{243}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 5$

Этап 4.2.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{243}{16} + 6 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 5$

Этап 4.2.2.1.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{243}{16} + 6 (- \frac{27}{2^{3}}) - 5$

Этап 4.2.2.1.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{243}{16} + 6 (- \frac{27}{8}) - 5$

Этап 4.2.2.1.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{8}$ в числитель.

$\frac{243}{16} + 6 (\frac{- 27}{8}) - 5$

Этап 4.2.2.1.11.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{243}{16} + 2 (3) \frac{- 27}{8} - 5$

Этап 4.2.2.1.11.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{243}{16} + 2 \cdot 3 \frac{- 27}{2 \cdot 4} - 5$

Этап 4.2.2.1.11.4

Сократим общий множитель.

$\frac{243}{16} + 2 \cdot 3 \frac{- 27}{2 \cdot 4} - 5$

Этап 4.2.2.1.11.5

Перепишем это выражение.

$\frac{243}{16} + 3 (\frac{- 27}{4}) - 5$

Этап 4.2.2.1.12

Объединим $3$ и $\frac{- 27}{4}$ .

$\frac{243}{16} + \frac{3 \cdot - 27}{4} - 5$

Этап 4.2.2.1.13

Умножим $3$ на $- 27$ .

$\frac{243}{16} + \frac{- 81}{4} - 5$

Этап 4.2.2.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{243}{16} - \frac{81}{4} - 5$

Этап 4.2.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Умножим $\frac{81}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{243}{16} - (\frac{81}{4} \cdot \frac{4}{4}) - 5$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $\frac{81}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{243}{16} - \frac{81 \cdot 4}{4 \cdot 4} - 5$

Этап 4.2.2.2.3

Запишем $- 5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{243}{16} - \frac{81 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 5}{1}$

Этап 4.2.2.2.4

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{243}{16} - \frac{81 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Этап 4.2.2.2.5

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{243}{16} - \frac{81 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 5 \cdot 16}{16}$

Этап 4.2.2.2.6

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{243}{16} - \frac{81 \cdot 4}{16} + \frac{- 5 \cdot 16}{16}$

Этап 4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{243 - 81 \cdot 4 - 5 \cdot 16}{16}$

Этап 4.2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Умножим $- 81$ на $4$ .

$\frac{243 - 324 - 5 \cdot 16}{16}$

Этап 4.2.2.4.2

Умножим $- 5$ на $16$ .

$\frac{243 - 324 - 80}{16}$

Этап 4.2.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Вычтем $324$ из $243$ .

$\frac{- 81 - 80}{16}$

Этап 4.2.2.5.2

Вычтем $80$ из $- 81$ .

$\frac{- 161}{16}$

Этап 4.2.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{161}{16}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, - 5), (- \frac{3}{2}, - \frac{161}{16})$

Этап 5