Математический анализ Примеры

$f (x) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.8

Объединим $- 4$ и $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.9

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.10

Вынесем множитель $2$ из $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.2.11.4

Разделим $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $24$ на $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + \frac{d}{d x} [13]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ и $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} = - 24$

Этап 2.3

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Этап 2.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Упростим ${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Применим правило умножения к $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Этап 2.4.1.1.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Этап 2.4.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Этап 2.4.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Этап 2.4.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$36 x^{1} = {(- 24)}^{2}$

Этап 2.4.1.1.4

Упростим.

$36 x = {(- 24)}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$36 x = 576$

Этап 2.5

Разделим каждый член $36 x = 576$ на $36$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $36 x = 576$ на $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{576}{36}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Разделим $576$ на $36$ .

$x = 16$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- 6 \sqrt{x^{1}} + 24$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- 6 \sqrt{x} + 24$

Этап 3.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 3.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Этап 4

Вычислим $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $16$ вместо $x$ .

$- 4 {(16)}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 4 {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Этап 4.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Этап 4.1.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Этап 4.1.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- 4 \cdot 4^{3} + 24 (16) + 13$

Этап 4.1.2.1.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- 4 \cdot 64 + 24 (16) + 13$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 4$ на $64$ .

$- 256 + 24 (16) + 13$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $24$ на $16$ .

$- 256 + 384 + 13$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $- 256$ и $384$ .

$128 + 13$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $128$ и $13$ .

$141$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(16, 141)$

Этап 5