Математический анализ Примеры

$y (x + 1) + x^{2} = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y (x + 1) + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y (x + 1) + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y (x + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = x + 1$ .

$y \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$y \cdot 1 + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.7

Умножим $y$ на $1$ .

$y + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y + (x + 1) y' + 2 x$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + x y' + 1 y' + 2 x$

Этап 2.4.2

Умножим $y'$ на $1$ .

$y + x y' + y' + 2 x$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$x y' + 2 x + y + y'$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + 2 x + y + y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x y' + y + y' = - 2 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' + y' = - 2 x - y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x y' + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Этап 5.2.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = - 2 x - y$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = - 2 x - y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (x + 1) = - 2 x - y$ на $x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (x + 1) = - 2 x - y$ на $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.1

Перепишем $- (2 x + y)$ в виде $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 1}$