Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{6} - 6 x^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{6} - 6 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{6}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $6$ на $2$ .

$12 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{4}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$12 x^{5} - 6 (4 x^{3})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{5} - 24 x^{3}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{5} - 24 x^{3}$ .

$12 x^{5} - 24 x^{3}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{5} - 24 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{5} - 24 x^{3} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12 x^{3}$ из $12 x^{5} - 24 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 x^{3}$ из $12 x^{5}$ .

$12 x^{3} (x^{2}) - 24 x^{3} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12 x^{3}$ из $- 24 x^{3}$ .

$12 x^{3} (x^{2}) + 12 x^{3} (- 2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12 x^{3}$ из $12 x^{3} (x^{2}) + 12 x^{3} (- 2)$ .

$12 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 2.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 x^{6} - 6 x^{4}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$2 {(0)}^{6} - 6 {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \cdot 0 - 6 {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 6 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\sqrt{2}$ вместо $x$ .

$2 {(\sqrt{2})}^{6} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{6}$ в виде $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$2 \cdot 2^{\frac{6}{2}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2^{\frac{3}{1}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$2 \cdot 2^{3} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 3} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$2^{4} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$16 - 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Этап 4.2.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{4}{2}}$

Этап 4.2.2.1.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.2.2.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Этап 4.2.2.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Этап 4.2.2.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2}{1}}$

Этап 4.2.2.1.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$16 - 6 \cdot 2^{2}$

Этап 4.2.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 - 6 \cdot 4$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $- 6$ на $4$ .

$16 - 24$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $24$ из $16$ .

$- 8$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- \sqrt{2}$ вместо $x$ .

$2 {(- \sqrt{2})}^{6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{6} {\sqrt{2}}^{6}) - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$2 (1 {\sqrt{2}}^{6}) - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{6}$ на $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{6}$ в виде $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$2 \cdot 2^{\frac{6}{2}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2^{\frac{3}{1}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$2 \cdot 2^{3} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $2$ на $2^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 3} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.5.2

Добавим $1$ и $3$ .

$2^{4} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.6

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$16 - 6 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4})$

Этап 4.3.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$16 - 6 (1 {\sqrt{2}}^{4})$

Этап 4.3.2.1.9

Умножим ${\sqrt{2}}^{4}$ на $1$ .

$16 - 6 {\sqrt{2}}^{4}$

Этап 4.3.2.1.10

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$16 - 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Этап 4.3.2.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Этап 4.3.2.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{4}{2}}$

Этап 4.3.2.1.10.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.3.2.1.10.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.10.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Этап 4.3.2.1.10.4.2.2

Сократим общий множитель.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Этап 4.3.2.1.10.4.2.3

Перепишем это выражение.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2}{1}}$

Этап 4.3.2.1.10.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$16 - 6 \cdot 2^{2}$

Этап 4.3.2.1.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 - 6 \cdot 4$

Этап 4.3.2.1.12

Умножим $- 6$ на $4$ .

$16 - 24$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $24$ из $16$ .

$- 8$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 8), (- \sqrt{2}, - 8)$

Этап 5