Математический анализ Примеры

$\ln (y + e^{2 x}) = x^{2} - 4$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (y + e^{2 x})) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y + e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $y + e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 2.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 2.5.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 \cdot e^{2 x})$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 e^{2 x})$ .

$(y' + 2 e^{2 x}) \frac{1}{y + e^{2 x}}$

Этап 2.6.2

Умножим $y' + 2 e^{2 x}$ на $\frac{1}{y + e^{2 x}}$ .

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} = 2 x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y + e^{2 x}$ .

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $y + e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x (y + e^{2 x})$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x y + 2 x e^{2 x}$

Этап 5.3

Вычтем $2 e^{2 x}$ из обеих частей уравнения.

$y' = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$