Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 1.1.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 1.1.3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 1.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 1.1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 1.1.3.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 1.1.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 1.1.3.10

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 1.1.3.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 1.1.3.12

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + 0$

Этап 1.1.3.13

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.1.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 2$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ на $x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = - 2 x^{3}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 x^{3} = 2$ .

$- 2 x^{3} = 2$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Этап 2.5.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{3} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Этап 2.5.3.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

Этап 2.5.3.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{3}) - 2 (1)$ .

$- 2 (x^{3} + 1) = 0$

Этап 2.5.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$- 2 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Этап 2.5.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.4.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Этап 2.5.3.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Этап 2.5.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Этап 2.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 2.5.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5.6

Приравняем $x^{2} - x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Приравняем $x^{2} - x + 1$ к $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 2.5.6.2

Решим $x^{2} - x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{2}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$2 (- 1) - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 - \frac{1}{1}$

Этап 4.1.2.1.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- 2 - \frac{1}{1}$

Этап 4.1.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- 2 - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 - 1$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$- 3$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$2 (0) - \frac{1}{{(0)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (0) - \frac{1}{0}$

Этап 4.2.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 1, - 3)$

Этап 5