Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x {(8 - x)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x {(8 - x)}^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x {(8 - x)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(8 - x)}^{3})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(8 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(8 - x)}^{3}) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 8 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 - x$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 - x$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

По правилу суммы производная $8 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2} \cdot 1) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 1.1.4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3} \cdot 1)$

Этап 1.1.4.9

Умножим ${(8 - x)}^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3})$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2})) + 2 {(8 - x)}^{3}$

Этап 1.1.5.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f' (x) = - 6 (x ({(8 - x)}^{2})) + 2 {(8 - x)}^{3}$

Этап 1.1.5.3

Вынесем множитель $2 {(8 - x)}^{2}$ из $- 6 x {(8 - x)}^{2} + 2 {(8 - x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Вынесем множитель $2 {(8 - x)}^{2}$ из $- 6 x {(8 - x)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(8 - x)}^{3}$

Этап 1.1.5.3.2

Вынесем множитель $2 {(8 - x)}^{2}$ из $2 {(8 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(8 - x)}^{2} (8 - x)$

Этап 1.1.5.3.3

Вынесем множитель $2 {(8 - x)}^{2}$ из $2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(8 - x)}^{2} (8 - x)$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x + 8 - x)$

Этап 1.1.5.4

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.5

Перепишем ${(8 - x)}^{2}$ в виде $(8 - x) (8 - x)$ .

$f' (x) = 2 ((8 - x) (8 - x)) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.6

Развернем $(8 - x) (8 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 (8 (8 - x) - x (8 - x)) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x) - x (8 - x)) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.7.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

$f' (x) = 2 (64 + 8 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.7.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - x \cdot 8 - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.7.1.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.7.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.7.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.7.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.7.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.7.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.7.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$f' (x) = 2 (64 - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (2 \cdot 64 + 2 (- 16 x) + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.9.1

Умножим $2$ на $64$ .

$f' (x) = (128 + 2 (- 16 x) + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.9.2

Умножим $- 16$ на $2$ .

$f' (x) = (128 - 32 x + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Этап 1.1.5.10

Развернем $(128 - 32 x + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f' (x) = 128 (- 4 x) + 128 \cdot 8 - 32 x (- 4 x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.1

Умножим $- 4$ на $128$ .

$f' (x) = - 512 x + 128 \cdot 8 - 32 x (- 4 x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.2

Умножим $128$ на $8$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 x (- 4 x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 \cdot (- 4 x \cdot x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.4.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 \cdot (- 4 x^{2}) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.5

Умножим $- 32$ на $- 4$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.6

Умножим $8$ на $- 32$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.8.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.11.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.9

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x - 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 8$

Этап 1.1.5.11.10

Умножим $8$ на $2$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Этап 1.1.5.12

Вычтем $256 x$ из $- 512 x$ .

$f' (x) = - 768 x + 1024 + 128 x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Этап 1.1.5.13

Добавим $128 x^{2}$ и $16 x^{2}$ .

$f' (x) = - 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$ .

$- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $8$ из $- 768 x$ .

$8 (- 96 x) + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $8$ из $1024$ .

$8 (- 96 x) + 8 (128) - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x^{3}$ .

$8 (- 96 x) + 8 (128) + 8 (- x^{3}) + 144 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $8$ из $144 x^{2}$ .

$8 (- 96 x) + 8 (128) + 8 (- x^{3}) + 8 (18 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $8$ из $8 (- 96 x) + 8 (128)$ .

$8 (- 96 x + 128) + 8 (- x^{3}) + 8 (18 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $8$ из $8 (- 96 x + 128) + 8 (- x^{3})$ .

$8 (- 96 x + 128 - x^{3}) + 8 (18 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $8$ из $8 (- 96 x + 128 - x^{3}) + 8 (18 x^{2})$ .

$8 (- 96 x + 128 - x^{3} + 18 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.2

Изменим порядок членов.

$8 (- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разложим $- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Этап 2.2.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Этап 2.2.3.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$- 2^{3} + 18 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 18 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 + 18 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 8 + 18 \cdot 4 - 96 \cdot 2 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.5

Умножим $18$ на $4$ .

$- 8 + 72 - 96 \cdot 2 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.6

Добавим $- 8$ и $72$ .

$64 - 96 \cdot 2 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.7

Умножим $- 96$ на $2$ .

$64 - 192 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.8

Вычтем $192$ из $64$ .

$- 128 + 128$

Этап 2.2.3.1.3.9

Добавим $- 128$ и $128$ .

$0$

Этап 2.2.3.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128}{x - 2}$

Этап 2.2.3.1.5

Разделим $- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$18 x^{2}$

$96 x$

$128$

Этап 2.2.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$

Этап 2.2.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$

Этап 2.2.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$

Этап 2.2.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					+	$16 x^{2}$	-	$32 x$

Этап 2.2.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x^{2} - 32 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$

Этап 2.2.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$

Этап 2.2.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$

Этап 2.2.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 64 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$

Этап 2.2.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$
							-	$64 x$	+	$128$

Этап 2.2.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 64 x + 128$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$
							+	$64 x$	-	$128$

Этап 2.2.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$
							+	$64 x$	-	$128$
										$0$

Этап 2.2.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 16 x - 64$

Этап 2.2.3.1.6

Запишем $- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128$ в виде набора множителей.

$8 ((x - 2) (- x^{2} + 16 x - 64)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$8 (x - 2) (- x^{2} + 16 x - 64) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 64 = 64$ , а сумма — $b = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 x$ .

$8 (x - 2) (- x^{2} + 16 (x) - 64) = 0$

Этап 2.2.4.1.1.2

Запишем $16$ как $8$ плюс $8$

$8 (x - 2) (- x^{2} + (8 + 8) x - 64) = 0$

Этап 2.2.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (x - 2) (- x^{2} + 8 x + 8 x - 64) = 0$

Этап 2.2.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$8 (x - 2) ((- x^{2} + 8 x) + 8 x - 64) = 0$

Этап 2.2.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$8 (x - 2) (x (- x + 8) - 8 (- x + 8)) = 0$

Этап 2.2.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 8$ .

$8 (x - 2) ((- x + 8) (x - 8)) = 0$

Этап 2.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$8 (x - 2) (- x + 8) (x - 8) = 0$

Этап 2.2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$8 (x - 2) (- (x) + 8) (x - 8) = 0$

Этап 2.2.5.2

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$8 (x - 2) (- (x) - 1 \cdot - 8) (x - 8) = 0$

Этап 2.2.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 8)$ .

$8 (x - 2) (- (x - 8)) (x - 8) = 0$

Этап 2.2.5.4

Перепишем $- (x - 8)$ в виде $- 1 (x - 8)$ .

$8 (x - 2) (- 1 (x - 8)) (x - 8) = 0$

Этап 2.2.5.5

Избавимся от скобок.

$8 (x - 2) \cdot (- 1 (x - 8) (x - 8)) = 0$

Этап 2.2.5.6

Возведем $x - 8$ в степень $1$ .

$8 (x - 2) \cdot (- 1 ((x - 8) (x - 8))) = 0$

Этап 2.2.5.7

Возведем $x - 8$ в степень $1$ .

$8 (x - 2) \cdot (- 1 ((x - 8) (x - 8))) = 0$

Этап 2.2.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (x - 2) \cdot (- 1 {(x - 8)}^{1 + 1}) = 0$

Этап 2.2.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$8 (x - 2) \cdot (- 1 {(x - 8)}^{2}) = 0$

Этап 2.2.5.10

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 (x - 2) {(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем ${(x - 8)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x - 8)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x - 8)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 8 (x - 2) {(x - 8)}^{2} = 0$ верно.

$x = 2, 8$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 x {(8 - x)}^{3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$2 (2) {(8 - (2))}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 {(8 - (2))}^{3}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 {(8 - 2)}^{3}$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $2$ из $8$ .

$4 \cdot 6^{3}$

Этап 4.1.2.4

Возведем $6$ в степень $3$ .

$4 \cdot 216$

Этап 4.1.2.5

Умножим $4$ на $216$ .

$864$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $8$ вместо $x$ .

$2 (8) {(8 - (8))}^{3}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$16 {(8 - (8))}^{3}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$16 {(8 - 8)}^{3}$

Этап 4.2.2.3

Вычтем $8$ из $8$ .

$16 \cdot 0^{3}$

Этап 4.2.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 \cdot 0$

Этап 4.2.2.5

Умножим $16$ на $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(2, 864), (8, 0)$

Этап 5