Математический анализ Примеры

$f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $15 x^{4} - 90 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{4}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 90$ является константой относительно $x$ , производная $- 90 x^{2}$ по $x$ равна $- 90 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{3} - 90 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$60 x^{3} - 90 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 90$ .

$f' (x) = 60 x^{3} - 180 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $60 x^{3} - 180 x$ .

$60 x^{3} - 180 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $60 x^{3} - 180 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$60 x^{3} - 180 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $60 x$ из $60 x^{3} - 180 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $60 x$ из $60 x^{3}$ .

$60 x (x^{2}) - 180 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $60 x$ из $- 180 x$ .

$60 x (x^{2}) + 60 x (- 3) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $60 x$ из $60 x (x^{2}) + 60 x (- 3)$ .

$60 x (x^{2} - 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 2.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $60 x (x^{2} - 3) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $15 x^{4} - 90 x^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$15 {(0)}^{4} - 90 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$15 \cdot 0 - 90 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $15$ на $0$ .

$0 - 90 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 90 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 90$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\sqrt{3}$ вместо $x$ .

$15 {(\sqrt{3})}^{4} - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$15 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$15 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$15 \cdot 3^{2} - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$15 \cdot 9 - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $15$ на $9$ .

$135 - 90 {(\sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$135 - 90 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.2.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$135 - 90 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.2.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$135 - 90 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.2.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$135 - 90 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.2.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$135 - 90 \cdot 3^{1}$

Этап 4.2.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$135 - 90 \cdot 3$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $- 90$ на $3$ .

$135 - 270$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $270$ из $135$ .

$- 135$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- \sqrt{3}$ вместо $x$ .

$15 {(- \sqrt{3})}^{4} - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$15 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$15 (1 {\sqrt{3}}^{4}) - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим ${\sqrt{3}}^{4}$ на $1$ .

$15 {\sqrt{3}}^{4} - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$15 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$15 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$15 \cdot 3^{2} - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$15 \cdot 9 - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.6

Умножим $15$ на $9$ .

$135 - 90 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$135 - 90 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Этап 4.3.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$135 - 90 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Этап 4.3.2.1.9

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$135 - 90 {\sqrt{3}}^{2}$

Этап 4.3.2.1.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$135 - 90 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.3.2.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$135 - 90 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.3.2.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$135 - 90 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.3.2.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$135 - 90 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.3.2.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$135 - 90 \cdot 3^{1}$

Этап 4.3.2.1.10.5

Найдем экспоненту.

$135 - 90 \cdot 3$

Этап 4.3.2.1.11

Умножим $- 90$ на $3$ .

$135 - 270$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $270$ из $135$ .

$- 135$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (\sqrt{3}, - 135), (- \sqrt{3}, - 135)$

Этап 5