Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} + 20 x^{2} - 14 x + 3$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 20 x^{2} - 14 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{2}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 20 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} + 20 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $20$ .

$6 x^{2} + 40 x + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 14$ является константой относительно $x$ , производная $- 14 x$ по $x$ равна $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 40 x - 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} + 40 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 14$ на $1$ .

$6 x^{2} + 40 x - 14 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x^{2} + 40 x - 14 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $6 x^{2} + 40 x - 14$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 40 x - 14$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} + 40 x - 14$ .

$6 x^{2} + 40 x - 14$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} + 40 x - 14 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} + 40 x - 14 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2} + 40 x - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) + 40 x - 14 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $40 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (20 x) - 14 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 (- 7) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2}) + 2 (20 x)$ .

$2 (3 x^{2} + 20 x) + 2 (- 7) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2} + 20 x) + 2 (- 7)$ .

$2 (3 x^{2} + 20 x - 7) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ , а сумма — $b = 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $20$ из $20 x$ .

$2 (3 x^{2} + 20 (x) - 7) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $20$ как $- 1$ плюс $21$

$2 (3 x^{2} + (- 1 + 21) x - 7) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 x^{2} - 1 x + 21 x - 7) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((3 x^{2} - 1 x) + 21 x - 7) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (x (3 x - 1) + 7 (3 x - 1)) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$2 ((3 x - 1) (x + 7)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (3 x - 1) (x + 7) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 2.5

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (3 x - 1) (x + 7) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - 7$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 x^{3} + 20 x^{2} - 14 x + 3$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{1}{3}$ вместо $x$ .

$2 {(\frac{1}{3})}^{3} + 20 {(\frac{1}{3})}^{2} - 14 (\frac{1}{3}) + 3$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$2 \frac{1^{3}}{3^{3}} + 20 {(\frac{1}{3})}^{2} - 14 (\frac{1}{3}) + 3$

Этап 4.1.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{3^{3}} + 20 {(\frac{1}{3})}^{2} - 14 (\frac{1}{3}) + 3$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 (\frac{1}{27}) + 20 {(\frac{1}{3})}^{2} - 14 (\frac{1}{3}) + 3$

Этап 4.1.2.1.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{27}$ .

$\frac{2}{27} + 20 {(\frac{1}{3})}^{2} - 14 (\frac{1}{3}) + 3$

Этап 4.1.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{27} + 20 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 14 (\frac{1}{3}) + 3$

Этап 4.1.2.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{27} + 20 \frac{1}{3^{2}} - 14 (\frac{1}{3}) + 3$

Этап 4.1.2.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{2}{27} + 20 (\frac{1}{9}) - 14 (\frac{1}{3}) + 3$

Этап 4.1.2.1.8

Объединим $20$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20}{9} - 14 (\frac{1}{3}) + 3$

Этап 4.1.2.1.9

Объединим $- 14$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20}{9} + \frac{- 14}{3} + 3$

Этап 4.1.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{27} + \frac{20}{9} - \frac{14}{3} + 3$

Этап 4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $\frac{20}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{14}{3} + 3$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{20}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{14}{3} + 3$

Этап 4.1.2.2.3

Умножим $\frac{14}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{14}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 3$

Этап 4.1.2.2.4

Умножим $\frac{14}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{14 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 3$

Этап 4.1.2.2.5

Запишем $3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{14 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{1}$

Этап 4.1.2.2.6

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{14 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.7

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{14 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Этап 4.1.2.2.8

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{14 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Этап 4.1.2.2.9

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20 \cdot 3}{27} - \frac{14 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Этап 4.1.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{2}{27} + \frac{20 \cdot 3}{27} - \frac{14 \cdot 9}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + 20 \cdot 3 - 14 \cdot 9 + 3 \cdot 27}{27}$

Этап 4.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $20$ на $3$ .

$\frac{2 + 60 - 14 \cdot 9 + 3 \cdot 27}{27}$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $- 14$ на $9$ .

$\frac{2 + 60 - 126 + 3 \cdot 27}{27}$

Этап 4.1.2.4.3

Умножим $3$ на $27$ .

$\frac{2 + 60 - 126 + 81}{27}$

Этап 4.1.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Добавим $2$ и $60$ .

$\frac{62 - 126 + 81}{27}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $126$ из $62$ .

$\frac{- 64 + 81}{27}$

Этап 4.1.2.5.3

Добавим $- 64$ и $81$ .

$\frac{17}{27}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 7$ вместо $x$ .

$2 {(- 7)}^{3} + 20 {(- 7)}^{2} - 14 \cdot - 7 + 3$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 343 + 20 {(- 7)}^{2} - 14 \cdot - 7 + 3$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 343$ .

$- 686 + 20 {(- 7)}^{2} - 14 \cdot - 7 + 3$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$- 686 + 20 \cdot 49 - 14 \cdot - 7 + 3$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $20$ на $49$ .

$- 686 + 980 - 14 \cdot - 7 + 3$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $- 14$ на $- 7$ .

$- 686 + 980 + 98 + 3$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $- 686$ и $980$ .

$294 + 98 + 3$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $294$ и $98$ .

$392 + 3$

Этап 4.2.2.2.3

Добавим $392$ и $3$ .

$395$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{1}{3}, \frac{17}{27}), (- 7, 395)$

Этап 5