Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{2}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 20$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 16 x - 20$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$

Этап 2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 16$ и $c = - 20$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 20)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.3

Добавим $256$ и $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.4

Перепишем $496$ в виде $4^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Этап 2.4.3

Упростим $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.3

Добавим $256$ и $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $496$ в виде $4^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.3

Добавим $256$ и $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $496$ в виде $4^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ вместо $x$ .

${(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{8^{3} + 3 \cdot 8^{2} (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 8^{2} (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 64 (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.3

Умножим $3$ на $64$ .

$\frac{512 + 192 (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.4

Умножим $2$ на $192$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.5

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.6

Применим правило умножения к $2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (2^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.8

Перепишем ${\sqrt{31}}^{2}$ в виде $31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{31}$ в виде $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.8.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{1}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.8.5

Найдем экспоненту.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.9

Умножим $24 (4 \cdot 31)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.9.1

Умножим $4$ на $31$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 \cdot 124 + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.9.2

Умножим $24$ на $124$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.10

Применим правило умножения к $2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 2^{3} {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.11

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.12

Перепишем ${\sqrt{31}}^{3}$ в виде $\sqrt{31^{3}}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{31^{3}}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.13

Возведем $31$ в степень $3$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{29791}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.14

Перепишем $29791$ в виде $31^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.14.1

Вынесем множитель $961$ из $29791$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{961 (31)}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.14.2

Перепишем $961$ в виде $31^{2}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.15

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 (31 \sqrt{31})}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.16

Умножим $31$ на $8$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.5

Добавим $512$ и $2976$ .

$\frac{3488 + 384 \sqrt{31} + 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.6

Добавим $384 \sqrt{31}$ и $248 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.7

Применим правило умножения к $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.9

Перепишем ${(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}$ в виде $(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.10

Развернем $(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 (8 + 2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.11.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.3

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.4

Умножим $2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.11.1.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.4.2

Возведем $\sqrt{31}$ в степень $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.4.3

Возведем $\sqrt{31}$ в степень $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} {\sqrt{31}}^{1})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{1 + 1}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.5

Перепишем ${\sqrt{31}}^{2}$ в виде $31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.11.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{31}$ в виде $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.11.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{1}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.1.6

Умножим $4$ на $31$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 124}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.2

Добавим $64$ и $124$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.11.3

Добавим $16 \sqrt{31}$ и $16 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 + 32 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.12

Объединим $- 8$ и $\frac{188 + 32 \sqrt{31}}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{(8) (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.1.2.1.14

Объединим $- 20$ и $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Этап 4.1.2.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Этап 4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - (\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Этап 4.1.2.2.3

Умножим $\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3} \cdot \frac{9}{9})$

Этап 4.1.2.2.4

Умножим $\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 4.1.2.2.5

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 4.1.2.2.6

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 4.1.2.2.7

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 8 \cdot 188 - 8 (32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $- 8$ на $188$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 8 (32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.3

Умножим $32$ на $- 8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 256 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 1504 \cdot 3 - 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.5

Умножим $- 1504$ на $3$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.6

Умножим $3$ на $- 256$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 20 \cdot 8 - 20 (2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.8

Умножим $- 20$ на $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 160 - 20 (2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.9

Умножим $2$ на $- 20$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 160 - 40 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 160 \cdot 9 - 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.11

Умножим $- 160$ на $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 1440 - 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Этап 4.1.2.4.12

Умножим $9$ на $- 40$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 1440 - 360 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.1.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Вычтем $4512$ из $3488$ .

$\frac{- 1024 + 632 \sqrt{31} - 768 \sqrt{31} - 1440 - 360 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $1440$ из $- 1024$ .

$\frac{- 2464 + 632 \sqrt{31} - 768 \sqrt{31} - 360 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.1.2.5.3

Вычтем $768 \sqrt{31}$ из $632 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 - 136 \sqrt{31} - 360 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.1.2.5.4

Вычтем $360 \sqrt{31}$ из $- 136 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 - 496 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.1.2.5.5

Перепишем $- 2464$ в виде $- 1 (2464)$ .

$\frac{- 1 (2464) - 496 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.1.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 496 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 1 (2464) - (496 \sqrt{31})}{27}$

Этап 4.1.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2464) - (496 \sqrt{31})$ .

$\frac{- 1 (2464 + 496 \sqrt{31})}{27}$

Этап 4.1.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2464 + 496 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ вместо $x$ .

${(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{8^{3} + 3 \cdot 8^{2} (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 8^{2} (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 64 (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.3

Умножим $3$ на $64$ .

$\frac{512 + 192 (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.4

Умножим $- 2$ на $192$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.5

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.6

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.7

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.8

Перепишем ${\sqrt{31}}^{2}$ в виде $31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{31}$ в виде $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.8.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{1}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.8.5

Найдем экспоненту.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.9

Умножим $24 (4 \cdot 31)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.9.1

Умножим $4$ на $31$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 \cdot 124 + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.9.2

Умножим $24$ на $124$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.10

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.11

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.12

Перепишем ${\sqrt{31}}^{3}$ в виде $\sqrt{31^{3}}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{31^{3}}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.13

Возведем $31$ в степень $3$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{29791}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.14

Перепишем $29791$ в виде $31^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.14.1

Вынесем множитель $961$ из $29791$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{961 (31)}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.14.2

Перепишем $961$ в виде $31^{2}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.15

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 (31 \sqrt{31})}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.4.16

Умножим $31$ на $- 8$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.5

Добавим $512$ и $2976$ .

$\frac{3488 - 384 \sqrt{31} - 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.6

Вычтем $248 \sqrt{31}$ из $- 384 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.7

Применим правило умножения к $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.9

Перепишем ${(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}$ в виде $(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.10

Развернем $(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 (8 - 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.11.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.2

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.3

Умножим $8$ на $- 2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.4

Умножим $- 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.11.1.4.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.4.2

Возведем $\sqrt{31}$ в степень $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.4.3

Возведем $\sqrt{31}$ в степень $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} {\sqrt{31}}^{1})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{1 + 1}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.5

Перепишем ${\sqrt{31}}^{2}$ в виде $31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.11.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{31}$ в виде $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.11.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{1}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.1.6

Умножим $4$ на $31$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 124}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.2

Добавим $64$ и $124$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.11.3

Вычтем $16 \sqrt{31}$ из $- 16 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 - 32 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.12

Объединим $- 8$ и $\frac{188 - 32 \sqrt{31}}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{(8) (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.2.2.1.14

Объединим $- 20$ и $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Этап 4.2.2.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Этап 4.2.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Умножим $\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - (\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Этап 4.2.2.2.3

Умножим $\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3} \cdot \frac{9}{9})$

Этап 4.2.2.2.4

Умножим $\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 4.2.2.2.5

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 4.2.2.2.6

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 4.2.2.2.7

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 8 \cdot 188 - 8 (- 32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.2

Умножим $- 8$ на $188$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 8 (- 32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.3

Умножим $- 32$ на $- 8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 1504 + 256 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 1504 \cdot 3 + 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.5

Умножим $- 1504$ на $3$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.6

Умножим $3$ на $256$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 20 \cdot 8 - 20 (- 2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.8

Умножим $- 20$ на $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 160 - 20 (- 2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.9

Умножим $- 2$ на $- 20$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 160 + 40 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 160 \cdot 9 + 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.11

Умножим $- 160$ на $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 1440 + 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Этап 4.2.2.4.12

Умножим $9$ на $40$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 1440 + 360 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.2.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Вычтем $4512$ из $3488$ .

$\frac{- 1024 - 632 \sqrt{31} + 768 \sqrt{31} - 1440 + 360 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.2.2.5.2

Вычтем $1440$ из $- 1024$ .

$\frac{- 2464 - 632 \sqrt{31} + 768 \sqrt{31} + 360 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.2.2.5.3

Добавим $- 632 \sqrt{31}$ и $768 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 + 136 \sqrt{31} + 360 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.2.2.5.4

Добавим $136 \sqrt{31}$ и $360 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 + 496 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.2.2.5.5

Перепишем $- 2464$ в виде $- 1 (2464)$ .

$\frac{- 1 (2464) + 496 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.2.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $496 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 1 (2464) - (- 496 \sqrt{31})}{27}$

Этап 4.2.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2464) - (- 496 \sqrt{31})$ .

$\frac{- 1 (2464 - 496 \sqrt{31})}{27}$

Этап 4.2.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2464 - 496 \sqrt{31}}{27}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, - \frac{2464 + 496 \sqrt{31}}{27}), (\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, - \frac{2464 - 496 \sqrt{31}}{27})$

Этап 5